菱形二十面体

在几何学中，菱形二十面体是一个形如扁球体的凸二十面体，由20个全等的黄金菱形组成^[1]，属于环带多面体。菱形二十面体可以视为移除了中间10个菱形环的菱形三十面体，^[2] 由结晶学家叶夫格拉夫·费多罗夫（英语：Evgraf Fedorov）于1885年发现^[3]。

提示：此条目的主题不是菱形十二面体。

菱形二十面体

类别	环带多面体
对偶多面体	见#对偶多面体一节
性质
面	20
边	40
顶点	22
欧拉特征数	F=20, E=40, V=22 （χ=2）
对称性
对称群	D5d
图像
见#对偶多面体一节 （对偶多面体）
查 论 编

菱形二十面体由二十个菱形组成，其中包含了三种顶点，分别为三个菱形面的公共顶点、四个菱形面的公共顶点以及五个菱形面的公共顶点。整个图形可分为上下两部分，上下分别有10个菱形，分界于其赤道面。

尽管菱形二十面体的所有面都是全等的，但其不具备面可递的特性，因为可以通过检查该面周围的顶点类型来区分该面是靠近赤道还是靠近极点。

3 sources

性质

菱形二十面体共由20个面、40条边和22个顶点组成，在其20个面中，每个面都是全等的黄金菱形^[4]:179；在其22个顶点中，有10个顶点是三个菱形的公共顶点（对应对偶多面体的三角形面）、有10个顶点是四个菱形的公共顶点（对应对偶多面体的四边形）和2个五个菱形的公共顶点（对应对偶多面体的五边形）。

菱形二十面体所有面皆全等，但不具备面可递的特性，因为可以通过检查该面周围的顶点类型来区分该面是靠近赤道还是靠近极点，这个立体在赤道面和极点处有明显差异。而面可递的要求是任两个面要可以透过平移、旋转或镜射等几何变换将一个面变换到另一个面，并且变换完后立体要占有相同的空间区域^[5][6][7]，然而赤道面附近的面和极点附近的面无法达到此一要求，故菱形二十面体不是一个面可递的立体。

4 sources

体积与表面积

若菱形二十面体的边长为${\displaystyle a}$，则其体积${\displaystyle V}$与表面积${\displaystyle A}$为：^[1]

${\displaystyle V=2{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}a^{3}}$^[1]

${\displaystyle A=8{\sqrt {5}}a^{2}}$^[1]

环带多面体

菱形二十面体是一种环带多面体，为五种黄金等面环带多面体之一^[1]。

菱形二十面体有五组互相平行的边，每组有8条边，可以用8₅带来描述。

菱形二十面体的边可以分为5组互相平行的边，可在正交投影中观察到

菱形二十面体可以视为将五维超正方体以顶点优先投影到三维空间的凸包。五维超正方体的32个顶点映射到菱形二十面体的22个外部顶点，其余10个顶点于投影结果的内部形成五角反棱柱。

同理，若将四维超正方体投影到三维空间则可以形成比林斯基十二面体（英语：Bilinski_dodecahedron）、六维超立方体（英语：6-cube）则是形成菱形三十面体。

对偶多面体

菱形二十面体对应的对偶多面体由正三角形、正五边形和非正多边形的四边形组成，拥有与异相双五角台塔相同的面数、边数和顶点数但拓朴结构不相同。

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  菱形二十面体的对偶多面体
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  与对偶多面体对应的菱形二十面体

相关多面体

菱形二十面体可以透过移除菱形三十面体中间的10个菱形面来构造。

菱形三十面体可以视为中间加入柱体的菱形二十面体

菱形二十面体和菱形三十面体都存在相同的十倍对称性正交投影

异相双五角台塔的对偶多面体

异相双五角台塔的对偶多面体又称五方偏方面体柱（Elongated pentagonal trapezohedron）有着与菱形二十面体相同的面数、边数和顶点数，但拓朴结构不相同。其极点变为5个筝形的公共顶点，而菱形二十面体是5个黄金菱形的公共顶点；赤道上的环变为由10个平行四边形构成，而菱形二十面体是由10个黄金菱形组成。

其名称五方偏方面体柱来自于五方偏方面体与柱体的组合，因为这种立体以可透过在五方偏方面体以中间的扭歪十边形分成上下两部分，并在中间插入柱状立体来构成，因此又可以称为拉长的五方偏方面体（Elongated pentagonal trapezohedron）。

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  异相双五角台塔的对偶多面体
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  与对偶多面体对应的异相双五角台塔

参考文献

1. Weisstein, Eric W. (编). Rhombic Icosahedron. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）.
2. rhombic polyhedra. www.polyhedra-world.nc. [2023-01-14]. （原始内容存档于2022-07-30）.
3. Hafner, Izidor. Introduction to golden rhombic polyhedra. Visual Mathematics [electronic only]. 2002-01, 4 [2023-01-14]. （原始内容存档于2023-01-14）.
4. Kabai, S., Mathematical Graphics I: Lessons in Computer Graphics Using Mathematica, Hungary: Uniconstant: Püspökladány, 2002
5. Peter R. Cromwell, Polyhedra, Cambridge University Press 1997, ISBN 0-521-55432-2, p. 371 Transitivity
6. Grünbaum, Branko; and Shephard, G. C. Tilings and Patterns. New York: W. H. Freeman. 1987. ISBN 0-7167-1193-1. (6.4 Isotoxal tilings, 309-321)
7. Coxeter, Harold Scott MacDonald; Longuet-Higgins, M. S.; Miller, J. C. P., Uniform polyhedra, Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A. Mathematical and Physical Sciences, 1954, 246: 401–450, ISSN 0080-4614, JSTOR 91532, MR 0062446, doi:10.1098/rsta.1954.0003