预层 (范畴论)

在数学的一支，范畴论中，范畴${\displaystyle C}$上的一${\displaystyle V}$值预层${\displaystyle F}$是一函子${\displaystyle F:C^{\mathrm {op} }\to \mathbf {V} }$。“预层”常常被定义为Set值预层。若${\displaystyle C}$是拓扑空间中所有开集构成的偏序集（作为范畴理解），那么我们就回到了拓扑空间上的预层的概念。

预层间的态射被定义为函子间的自然变换，这使得${\displaystyle C}$上所有预层的搜集构成了一个范畴${\displaystyle {\hat {C}}}$。到${\displaystyle {\hat {C}}}$的函子常被称为Profunctor。

性质

• 一个局部小范畴${\displaystyle C}$可以通过米田嵌入${\displaystyle \mathrm {Y} _{c}}$完全且忠实地嵌入Set值预层${\displaystyle {\hat {C}}}$，它将${\displaystyle C}$的每个对象${\displaystyle A}$送到态射函子${\displaystyle C(-,A)}$。
• 预层${\displaystyle {\hat {C}}}$（精确到范畴等价）是${\displaystyle C}$的自由余极限完备化。