辛矩阵

在数学中，扭对称矩阵是指一个${\displaystyle 2n\times 2n}$的矩阵M（通常布于实数或复数域上），使之满足

${\displaystyle M^{T}\Omega M=\Omega \,}$。

其中${\displaystyle M^{T}}$表${\displaystyle M}$的转置矩阵，而${\displaystyle \Omega }$是一个固定的可逆斜对称矩阵；这类矩阵在适当的变化后皆能表为

${\displaystyle \Omega ={\begin{bmatrix}0&I_{n}\\-I_{n}&0\\\end{bmatrix}}}$

或

${\displaystyle \Omega ={\begin{bmatrix}{\begin{matrix}0&1\\-1&0\end{matrix}}&&0\\&\ddots &\\0&&{\begin{matrix}0&1\\-1&0\end{matrix}}\end{bmatrix}}}$

两者的差异仅在于基的置换，其中${\displaystyle I_{n}}$是${\displaystyle n\times n}$ 单位矩阵。此外，${\displaystyle \Omega }$ 行列式值等于一，且其逆矩阵等于${\displaystyle -\Omega }$。

性质

凡扭对称矩阵皆可逆，其逆矩阵可表为

${\displaystyle M^{-1}=\Omega ^{-1}M^{T}\Omega }$

其中，反对称矩阵${\displaystyle \Omega }$具有如下运算性质：

${\displaystyle \Omega ^{T}=-\Omega =\Omega ^{-1}\,\!}$ ,

${\displaystyle \Omega ^{T}\Omega =\Omega \Omega ^{T}=I_{2n}\,\!}$ ,

${\displaystyle \Omega \Omega =-I_{2n}\,\!}$ ,

${\displaystyle det(\Omega )=1\,\!}$ 。

此外，扭对称矩阵构成的集合在矩阵乘法下封闭，因此一个域${\displaystyle F}$上的所有${\displaystyle 2n}$阶扭对称矩阵构成一个群，记为${\displaystyle \mathrm {Sp} (2n,F)}$。事实上它是${\displaystyle \mathrm {GL} (2n,F)}$的闭代数子群，其维度为${\displaystyle n(2n+1)}$。当${\displaystyle F=\mathbb {R} ,\mathbb {C} }$时，${\displaystyle \mathrm {Sp} (2n,F)}$带有自然的（复）李群结构。

由定义可知扭对称矩阵的行列式等于${\displaystyle \pm 1}$；事实上，可以利用普法夫值的公式：

${\displaystyle {\mbox{Pf}}(M^{T}\Omega M)=\det(M){\mbox{Pf}}(\Omega )}$。

由于${\displaystyle M^{T}\Omega M=\Omega }$、${\displaystyle {\mbox{Pf}}(\Omega )\neq 0}$，遂导出${\displaystyle det(M)=1}$。

当${\displaystyle n=1}$时，有${\displaystyle \mathrm {Sp} (2)=\mathrm {SL} (2)}$。换言之：二阶扭对称矩阵即行列式等于一的二阶矩阵。

扭对称变换

在线性代数的抽象框架里，我们可以用偶数维向量空间${\displaystyle V}$上的线性变换取代偶数阶矩阵，并固定一个非退化反对称双线性形${\displaystyle \omega :V\times V\to F}$以取代矩阵${\displaystyle \Omega }$（赋有这类双线性形的空间称为扭对称向量空间），如此便得到与基底无关的定义：

定义。一个扭对称向量空间${\displaystyle (V,\omega )}$上的线性变换${\displaystyle L:V\to V}$若满足

${\displaystyle \omega (Lu,Lv)=\omega (u,v)}$。

则称${\displaystyle L}$为扭对称变换。

考虑${\displaystyle \eta :=\wedge ^{\frac {\dim V}{2}}\omega }$，由于${\displaystyle L^{*}(\omega )=\omega }$，故${\displaystyle L^{*}(\eta )=\eta }$；另一方面，${\displaystyle L^{*}(\eta )=(\det L)\cdot \eta }$，于是得到${\displaystyle \det L=1}$。由此导出扭对称变换之行列式值等于一。

固定${\displaystyle V}$的一组基，借此将${\displaystyle L}$写成矩阵${\displaystyle M}$，并将${\displaystyle \omega }$表成斜对称矩阵${\displaystyle \Omega }$，便回到先前的定义：

${\displaystyle M^{T}\Omega M=\Omega }$。

相关条目

• 辛标记
• 辛向量空间
• 辛群
• 辛表示（英语：Symplectic representation）
• 正交矩阵
• 幺正矩阵
• 哈密顿力学
• 正则变换

外部链接

• Symplectic matrix. PlanetMath.
• The characteristic polynomial of a symplectic matrix is a reciprocal polynomial. PlanetMath.