超越次数

在抽象代数中，一个域扩张 ${\displaystyle L/K}$ 的超越次数是 ${\displaystyle L}$ 中在 ${\displaystyle K}$ 上代数独立子集的极大基数。

定义

域扩张 ${\displaystyle L/K}$ 的一组超越基是子集 ${\displaystyle S\subset L}$，使得 ${\displaystyle S}$ 在 ${\displaystyle K}$ 上代数独立，而且 ${\displaystyle L/K(S)}$ 是代数扩张。可证明超越基存在，而任两组超越基的基数皆相同，由此可定义超越次数为超越基底的基数。

例子

• 域扩张是代数扩张的充要条件是其超越次数为零。
• 有理函数域 ${\displaystyle k(X_{1},\ldots ,X_{n})}$ 对 ${\displaystyle k}$ 的超越次数为 ${\displaystyle n}$。
• 对于代数簇的函数域，其超越次数等于代数簇的维度。
• ${\displaystyle \mathbb {C} /\mathbb {Q} }$ 的超越次数是连续统；另一方面，${\displaystyle \mathbb {C} }$ 代数封闭，因此任何特征为零的有限生成域都能嵌入 ${\displaystyle \mathbb {C} }$。

与向量空间维度的类比

域与向量空间有下述类比：代数独立集对应到线性独立集、超越基对应到基、超越次数对应到维度。证明基的基数唯一时，两方面都用到基的“交换引理”。任意域上超越基的存在性依赖于选择公理，向量空间的基底亦同。在模型论中，这两者可以统一于预几何的框架下。

性质

若 ${\displaystyle L/K}$、${\displaystyle M/L}$ 为域扩张，则 ${\displaystyle M/K}$ 的超越次数为 ${\displaystyle M/L}$ 与 ${\displaystyle L/K}$ 的超越次数相加，此点可借由取超越基的联集证之。