赋环空间

赋环空间 （ringed space） 在数学上系指一个拓扑空间配上一个交换环层，其中特别重要的一类是局部赋环空间。此概念在现代的代数几何学占重要角色。

定义

• 一个赋环空间是一组资料${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$，其中${\displaystyle X}$为一拓扑空间而${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$是其上的交换环层。
• 若${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$在每一点的茎都是局部环，则称之局部赋环空间。

全体赋环空间构成一个范畴，${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$到${\displaystyle (Y,{\mathcal {O}}_{Y})}$的态射是一组${\displaystyle (f,f^{\sharp })}$，其中${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$是连续映射，${\displaystyle f^{\sharp }:{\mathcal {O}}_{Y}\rightarrow f_{*}{\mathcal {O}}_{X}}$是环层的态射（ ${\displaystyle f_{*}{\mathcal {O}}_{X}}$定义为${\displaystyle V\mapsto {\mathcal {O}}_{X}(f^{-1}(V))}$）。

局部赋环空间亦成一范畴，其态射除上述要求外，还须满足：对每一点${\displaystyle x\in X}$，${\displaystyle f^{\sharp }}$在茎上诱导的自然态射${\displaystyle f_{x}^{\sharp }:{\mathcal {O}}_{Y,f(x)}\rightarrow {\mathcal {O}}_{X,x}}$必须是局部的（若${\displaystyle (A,{\mathfrak {m}}),(B,{\mathfrak {n}})}$是局部环，环同态${\displaystyle \phi :A\rightarrow B}$满足${\displaystyle \phi ^{-1}({\mathfrak {m}})={\mathfrak {n}}}$，则称φ为局部的）。

例子

• 设${\displaystyle X}$为任一拓扑空间，${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}:U\mapsto C(U)}$（${\displaystyle C(U)}$表 U 上的连续函数），则${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$ 成一局部赋环空间：${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,x}}$的唯一极大理想由在${\displaystyle x}$消没的函数构成。拓扑空间之间的连续映射诱导出局部赋环空间的态射，反之亦然。
• 上述例子中的${\displaystyle X}$可代以微分流形或复流形，并将${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(U)}$代以${\displaystyle U}$上的光滑函数或全纯函数。
• 交换环谱${\displaystyle (\mathrm {A} ,{\mathcal {O}}_{A})}$。给定环同态${\displaystyle \phi :A\rightarrow B}$，φ诱导出局部赋环空间的态射${\displaystyle (f,f^{\sharp })}$；反之任一态射皆由环同态给出。

为了刻划这些态射，局部的条件在此不可或缺，它可被视为${\displaystyle X}$与${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$之间的联系；例如，若不要求局部性，则交换环谱的态射不一定由环同态给出——尽管从古典角度看这是必然的。