积分第一中值定理

积分第一中值定理的内容为：

设 ${\displaystyle f:[a,b]\rightarrow \mathbf {R} }$ 为一连续函数，${\displaystyle g:[a,b]\rightarrow \mathbf {R} }$ 要求g(x)是可积函数且在积分区间不变号，那么存在一点 ${\displaystyle \xi \in [a,b]}$ 使得

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx=f(\xi )\int _{a}^{b}g(x)\,dx}$。

事实上，可以证明，上述的中值点${\displaystyle \xi }$必能在开区间${\displaystyle (a,b)}$内取得^[1]，见下方中值点在开区间内存在的证明。

证明

因为 ${\displaystyle f\ }$ 是闭区间上的连续函数，${\displaystyle f\ }$ 取得最大值 ${\displaystyle \mathrm {M} \ }$ 和最小值 ${\displaystyle \mu \ }$。于是

${\displaystyle \mathrm {M} g(x)\geq f(x)g(x)\geq \mu g(x)}$。

对不等式求积分，我们有

${\displaystyle \mathrm {M} \int _{\alpha }^{\beta }g(x){\rm {d}}x\geq \int _{\alpha }^{\beta }f(x)g(x){\rm {d}}x\geq \mu \int _{\alpha }^{\beta }g(x){\rm {d}}x}$。

若 ${\displaystyle \int _{\alpha }^{\beta }g(x){\rm {d}}x=0}$，则 ${\displaystyle \int _{\alpha }^{\beta }f(x)g(x){\rm {d}}x=0}$。${\displaystyle \xi \ }$ 可取 ${\displaystyle [\alpha ,\beta ]\ }$ 上任一点。

设 ${\displaystyle \int _{\alpha }^{\beta }g(x){\rm {d}}x>0}$，那么

${\displaystyle \mathrm {M} \geq {\frac {\int _{\alpha }^{\beta }f(x)g(x){\rm {d}}x}{\int _{\alpha }^{\beta }g(x){\rm {d}}x}}\geq \mu }$。

因为 ${\displaystyle \mathrm {M} \geq f(x)\geq \mu }$是连续函数，根据介值定理，必存在一点 ${\displaystyle \xi \in [\alpha ,\beta ]}$，使得

${\displaystyle f(\xi )={\frac {\int _{\alpha }^{\beta }f(x)g(x){\rm {d}}x}{\int _{\alpha }^{\beta }g(x){\rm {d}}x}}}$。

中值点在开区间内存在的证明

已知${\displaystyle f(x)}$在${\displaystyle [a,b]}$上连续，设${\displaystyle F(x)=\int _{a}^{x}f(t)\,dt}$。

知${\displaystyle F(x)}$在${\displaystyle [a,b]}$上连续，在${\displaystyle (a,b)}$内可导，应用拉格朗日中值定理，可得：

${\displaystyle {\dfrac {F(b)-F(a)}{b-a}}=F'(\xi )}$，其中${\displaystyle \xi \in (a,b)}$

即

${\displaystyle {\dfrac {\int _{a}^{b}f(t)\,dt-\int _{a}^{a}f(t)\,dt}{b-a}}=f(\xi )}$

所以

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=f(\xi )(b-a),\xi \in (a,b)}$。