矩形法

微积分中，矩形法是一种计算定积分近似值的方法，其思想是求若干个矩形的面积之和，这些矩形的高由函数值来决定。^[1]

将积分区间 ${\displaystyle (a,b)}$ 划分为 ${\displaystyle n}$ 个长度相等的子区间，每个子区间的长度为 ${\displaystyle \Delta x={\frac {b-a}{n}}}$ 。这些矩形左上角、右上角或顶边中点在被积函数图像上。这样，这些矩形的面积之和就约等于定积分的近似值。有：

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,{\mbox{d}}x\approx \sum _{i=1}^{n}f(a+i'\Delta x)\Delta x}$

其中${\displaystyle i'}$可以是以下三个值 ${\displaystyle i-{\frac {1}{2}}}$， ${\displaystyle i}$ ， ${\displaystyle i+{\frac {1}{2}}}$之一，由函数图像上的点为矩形的左上角、右上角或顶边中点来决定。

当 n 逐渐扩大时，此近似值更加准确。矩形法的计算本质上是与黎曼积分的定义相吻合的。上述的${\displaystyle i'}$无论取哪个值，最终和式的值都将趋近于定积分的值。^[2]

• 
  ${\displaystyle i'=i-{\frac {1}{2}}}$

2 sources

C 语言代码

#include <stdio.h>
#include <math.h>

double f(double x){
   return sin(x);
   /*也可以回传其他数学子程序,像cos(2*x)或2*atan(3*x+1)-1*/
}

double rectangle_integrate(double a, double b, int subintervals){
   double result;
   double interval;
   int i;
   
   interval=(b-a)/subintervals;
   result=0;
   
   for(i=1;i<=subintervals;i++){
      result+=f(a+interval*(i-0.5));
   }
   result*=interval;

   return result;
}

int main(void){
   double integral;
   integral=rectangle_integrate(0,2,100);
   printf("Integral: %f \n",integral);
   return 0;
}

Fortran 语言代码

      
      Program Calc

      Double Precision f,y,a,b,J,mult,sum,c1,c2
      Sum=0.0
      c2=0.0
      c1=0.0

      Print*,'Enter the start and end of the interval'
      Read*,a,b
      If (b.gt.a) then
         goto 1
      Else
         goto 2
      End If
      
  1   Do J=a,b,.00000001
         c1=J
         Y=F(((c1+c2)/2))
         Mult=Y*.00000001
         Sum=sum+mult
         c2=c1
      End Do

  2   Do J=a,b,-.00000001
         c1=J
         Y=F(((c1+c2)/2))
         Mult=Y*.00000001
         Sum=sum+mult
         c2=c1
      End Do

      Print*,Sum
  3   Format (F20.5)
      End

      Double Precision Function f(x)
      Double Precision x

      F=(4)/((x**2)+1)

      Return
      End

注释与参考

1. 同济大学数学教研室. 《高等数学》 第三版. 高等教育出版社. 1988年4月: 319. ISBN 7-04-000894-7.
2. 李忠、周建莹. 《高等数学》 第二版. 北京大学出版社. 2009年8月: 166~167. ISBN 978-7-301-15597-4.

另见

• 梯形法
• 辛普森法