畸变

此条目介绍的是影像上在投影后的变化。关于其他信号的变化，请见“失真”。

几何光学中的畸变（英语：Distortion）是成像偏离直线投影（英语：rectilinear projection）（直线在投影后仍维持直线的投影），是像差的一种，但和球面像差、彗形像差、色差、佩兹瓦尔像场弯曲及像散不同，后面几种像差会影响影像的精细度，但不会改变图案（直线在投影后仍是直线，但会因为像差而变模糊），而畸变会改变图案本身形状。畸变与物像点离光轴的垂直高度的立方成正比，因此，物像四角的畸变比物像的四边的畸变程度大^[1]:56。

1 sources

分类

桶状

枕状

胡状

畸变的例子

畸变可能是不规则的，且有许多不同的模式。但很常见的畸变是辐射对称的，是因为镜头的对称性所产生。这类畸变可以分为桶状畸变或枕状畸变^[2]。

桶状畸变

桶状畸变（barrel distortion）下，影像的放大率随着和光轴的距离减少。看到的效果是类似影像放在球面（或木桶）上的效果。鱼眼镜头可以取半个球面的影像，就是利用这种畸变将无穷宽的视野缩到有限的区域内。变焦镜头的桶状畸变出现在一半焦距的位置，在广角范围的端点最严重^[3]。 凹球面透镜较常出现桶状畸变。

枕状畸变

枕状畸变（pincushion distortion），影像的放大率随着和光轴的距离增加。视觉的效果是不通过图形中心的直线会往内弯曲，类似枕形（英语：pincushion）。 凸球面透镜较常出现枕状畸变。

胡状畸变

胡状畸变（mustache distortion）是上述两种的混合，较少见，但不算非常罕见，在靠近影像中心处是枕状畸变，往外扩展时慢慢变成枕状畸变，在图的上半部的横线会类似翘八字胡（英语：handlebar mustache）。

2 sources

词语由来

上述畸变的名称来自有类似外形的日常事物。

• 
  在桶状畸变中，直线会往外膨胀，类似木桶。
• 
  在枕状畸变中，方形的四角会往外伸长，类似座垫。
• 
  在胡状畸变中，水平线会先在中心部位突出，再往另一个方向弯曲，类似翘八字胡（英语：handlebar mustache）

出现畸变的情形

globe effect（右边）和没有globe effect（左边）比较的动画

摄影中的畸变特别和变焦镜头有关，特别是大画幅镜头，不过也会在定焦镜头上出现，和其焦距有关。例如佳能 EF 50mm 镜头 f/1.4 在极短焦距下会有桶状畸变。广角镜头可能会出现桶状畸变，且常出现在容易出现在变焦镜头的广角端点，枕状畸变会出现在较旧或是低阶的远摄镜头上。胡状畸变特别会在变焦镜头的视野末端出现，特别是后焦距镜头，最近也在大范围变焦镜头（像是尼康 18–200 mm）上出现。

在光学仪器中（例如双筒望远镜）会有一些枕状畸变，目的是为了抵消globe effect（英语：globe effect）。

径向畸变可以由其对同心圆（例如箭靶）的影响来理解

在理解这类畸变时，需记得这些是径向畸变，探讨的光学系统有旋转对称（省略非径向的缺陷），因此正确的测试影像会是一组均匀分隔的同心圆（类似箭靶）。可以看出这些畸变会让同心圆变成不是均匀分隔。像枕状畸变就是外围的圆圈彼此之间的距离会较远。而桶状畸变就是外围的圆圈彼此之间的距离会较近。

软件修正

有未修正桶状畸变的图（26mm）

桶状畸变已被修正的图（图中的电脑是ENIAC电脑）

径向畸变主要是以低阶径向成分为主^[4]，可以用Brown畸变模型来修正^[5]，因为Conrady早期的研究，也称为Brown–Conrady模型^[6]。 Brown–Conrady模型可以修正径向畸变以及因为各镜头没有对正而产生的切线畸变。切线畸变也称为“离心畸变”。可参考Zhang^[7]有关径向畸变的进一步讨论。Brown-Conrady畸变模型为

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}x_{\mathrm {u} }=x_{\mathrm {d} }&+(x_{\mathrm {d} }-x_{\mathrm {c} })(K_{1}r^{2}+K_{2}r^{4}+\cdots )+(P_{1}(r^{2}+2(x_{\mathrm {d} }-x_{\mathrm {c} })^{2})\\&+2P_{2}(x_{\mathrm {d} }-x_{\mathrm {c} })(y_{\mathrm {d} }-y_{\mathrm {c} }))(1+P_{3}r^{2}+P_{4}r^{4}\cdots )\\y_{\mathrm {u} }=y_{\mathrm {d} }&+(y_{\mathrm {d} }-y_{\mathrm {c} })(K_{1}r^{2}+K_{2}r^{4}+\cdots )+(2P_{1}(x_{\mathrm {d} }-x_{\mathrm {c} })(y_{\mathrm {d} }-y_{\mathrm {c} })\\&+P_{2}(r^{2}+2(y_{\mathrm {d} }-y_{\mathrm {c} })^{2}))(1+P_{3}r^{2}+P_{4}r^{4}\cdots ),\end{alignedat}}}$$

其中

• ${\displaystyle (x_{\mathrm {d} },\ y_{\mathrm {d} })}$是用特定透镜透视到影像平面的畸变影像点
• ${\displaystyle (x_{\mathrm {u} },\ y_{\mathrm {u} })}$是用理想针孔相机透视到影像平面的无畸变影像点
• ${\displaystyle (x_{\mathrm {c} },\ y_{\mathrm {c} })}$是畸变中心
• ${\displaystyle K_{n}}$是第${\displaystyle n}$次径向畸变系数
• ${\displaystyle P_{n}}$是第${\displaystyle n}$次切线畸变系数
• ${\displaystyle r}$ = ${\displaystyle {\sqrt {(x_{\mathrm {d} }-x_{\mathrm {c} })^{2}+(y_{\mathrm {d} }-y_{\mathrm {c} })^{2}}}}$，畸变点以及畸变中心的欧几里得距离^[4]

桶状畸变的${\displaystyle K_{1}}$会是负值，而枕状畸变对应值则是正值。胡状畸变会有非单调的径向畸变几何数列，在特定的${\displaystyle r}$处会变号。

若要为轴向畸变建模，以下的除法模型^[8]可以有比Brown-Conrady偶数阶模型更准确的结果^[9]。

$${\displaystyle {\begin{aligned}x_{\mathrm {u} }&=x_{\mathrm {c} }+{\frac {x_{\mathrm {d} }-x_{\mathrm {c} }}{1+K_{1}r^{2}+K_{2}r^{4}+\cdots }}\\y_{\mathrm {u} }&=y_{\mathrm {c} }+{\frac {y_{\mathrm {d} }-y_{\mathrm {c} }}{1+K_{1}r^{2}+K_{2}r^{4}+\cdots }},\end{aligned}}}$$

参数和以前定义的相同。针对轴向畸变，此模型比Brown–Conrady模型要好用，需要的项次较少，即可更精确的描述严重的畸变^[9]。若使用此模型，大部分的相机只需要一项即可描述^[10]。

软件可以用图像扭转的作法，对图像加反向的畸变来复原影像。这需要确认已畸变的像素对应未畸变的哪一个像素，因为模型非线性，此对应不是显然的。

畸变或去畸变都需要两组系数，或是找到非线性模型的反函数，一般来言，反函数是没有解析解的。标准的作法包括近似、局部线性化以及迭代法都可以使用。各精准度以及计算需要的资源各有不同。

若是使用一阶的除法模型，其去畸变问题存在解析解^[9]，畸变的像素为

$${\displaystyle {\begin{aligned}x_{\mathrm {d} }&=x_{\mathrm {c} }+{\frac {x_{\mathrm {u} }-x_{\mathrm {c} }}{2K_{1}r_{u}^{2}}}(1-{\sqrt {1-4K_{1}r_{u}^{2}}})\\y_{\mathrm {d} }&=y_{\mathrm {c} }+{\frac {y_{\mathrm {u} }-y_{\mathrm {c} }}{2K_{1}r_{u}^{2}}}(1-{\sqrt {1-4K_{1}r_{u}^{2}}}),\end{aligned}}}$$

其中

• ${\displaystyle r_{u}}$ = ${\displaystyle {\sqrt {(x_{\mathrm {u} }-x_{\mathrm {c} })^{2}+(y_{\mathrm {u} }-y_{\mathrm {c} })^{2}}}}$是点相对中心的欧氏距离。

7 sources

相关条目

• 歪像
• 视角
• 圆柱透视（英语：Cylindrical perspective）
• 质地梯度（英语：Texture gradient）
• 水下视觉（英语：Underwater vision）
• 晕影
• 球面像差

参考文献

1. Warren J. Smith,Modern Optical Engineering, McGraw Hill, 1966
2. Paul van Walree. Distortion. Photographic optics. [2 February 2009]. （原始内容存档于29 January 2009）.
3. Tamron 18-270mm f/3.5-6.3 Di II VC PZD. [20 March 2013].
4. de Villiers, J. P.; Leuschner, F.W.; Geldenhuys, R. Centi-pixel accurate real-time inverse distortion correction (PDF). 2008 International Symposium on Optomechatronic Technologies. SPIE. 17–19 November 2008. doi:10.1117/12.804771.
5. Brown, Duane C. Decentering distortion of lenses (PDF). Photogrammetric Engineering. May 1966, 32 (3): 444–462. （原始内容 (PDF)存档于2018-03-12）.
6. Conrady, A. E. Decentred Lens-Systems. Monthly Notices of the Royal Astronomical Society. 1919, 79 (5): 384–390. Bibcode:1919MNRAS..79..384C. doi:10.1093/mnras/79.5.384 .
7. Zhang, Zhengyou. A Flexible New Technique for Camera Calibration (PDF) (技术报告). Microsoft Research. 1998. MSR-TR-98-71.
8. Fitzgibbon, A. W. Simultaneous linear estimation of multiple view geometry and lens distortion. Proceedings of the 2001 IEEE Computer Society Conference on Computer Vision and Pattern Recognition (CVPR). IEEE. 2001. doi:10.1109/CVPR.2001.990465.
9. Bukhari, F.; Dailey, M. N. Automatic Radial Distortion Estimation from a Single Image (PDF). Journal of mathematical imaging and vision. Springer. 2013. doi:10.1007/s10851-012-0342-2.
10. Wang, J.; Shi, F.; Zhang, J.; Liu, Y. A new calibration model of camera lens distortion. Pattern Recognition. Elsevier. 2008. doi:10.1016/j.patcog.2007.06.012.