球极平面投影

球极平面投影（stereographic projection），在几何学里，是一种将圆球面投影至平面的映射。在构造地质学里，称为球面立体投影或球面投影。除了投影点以外，这投影在整个球面都有定义。在这定义域里，这映射具有光滑性、双射性和共形性。共形性的意思就是角度维持不变。但是，这映射不会维持距离不变，也不会维持面积不变；它不会维持图案的距离与面积。

直觉而言，球极平面投影是一种以平面来看球面的方法。使用这方法，在图案品质方面，必须接受一些不可避免的妥协。因为圆球与平面出现于许多数学方面的问题和应用，球极平面投影也非常地常见。在各个领域，例如，复分析，地图学，地质学，与摄影，球极平面投影都有广泛的用处。实际上，球极平面投影经常是用电脑绘成，或者用手工直接绘在一种特别的绘图纸，称为乌尔夫网图。

公式

球面球座标投影到平面极座标：

${\displaystyle (R,\Theta )=\left(\cot {\frac {\varphi }{2}},\theta \right),}$

反解：

${\displaystyle (\varphi ,\theta )=\left(2\arctan \left({\frac {1}{R}}\right),\Theta \right)}$

特别地，当 R = 0 时，φ = π

图片

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  这三维透视图可以显示出球极平面投影图的制作方法。
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  瑞士沃伦山球极平面投影图，由120张照片合成。
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  加勒比海法属圣马丁首府马里戈特的海滩360度球极平面投影图，由9张照片合成。

参考文献

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• Brown, James and Churchill, Ruel. Complex variables and applications. New York: McGraw-Hill. 1989. ISBN 0070109052.
• German, Daniel; Burchill, L.; Duret-Lutz, A.; Pérez-Duarte, S.; Pérez-Duarte, E.; Sommers, J. Flattening the Viewable Sphere. "Proceedings of Computational Aesthetics 2007". Banff: Eurographics: 23–28. June 2007.
• Do Carmo, Manfredo P. Differential geometry of curves and surfaces. Englewood Cliffs, New Jersey: Prentice Hall. 1976. ISBN 0-13-212589-7.
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• Snyder, John P. Map Projections − A Working Manual, Professional Paper 1395. US Geological Survey. 1987.
• Snyder, John P. An Album of Map Projections, Professional Paper 1453. US Geological Survey. 1989.
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• Spivak, Michael. A comprehensive introduction to differential geometry, Volume IV. Houston, Texas: Publish or Perish. 1999. ISBN 091409873X.

外部链接

• 埃里克·韦斯坦因. Stereographic projection. MathWorld.
• http://planetmath.org/encyclopedia/StereographicProjection.html （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Table of examples and properties of all common projections （页面存档备份，存于互联网档案馆）, from radicalcartography.net
• three dimensional Java Applet （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Stereographic Projection and Inversion （页面存档备份，存于互联网档案馆） from cut-the-knot
• Examples of miniplanet panoramas, majority in UK
• Examples of miniplanet panoramas, majority in Czech Republic （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Examples of miniplanet panoramas, majority in Poland （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• DoITPoMS Teaching and Learning Package- "The Stereographic Projection" （页面存档备份，存于互联网档案馆）