狄利克雷边界条件

在数学中，狄利克雷边界条件（Dirichlet boundary condition）也被称为常微分方程或偏微分方程的“第一类边界条件”，指定微分方程的解在边界处的值。求出这样的方程的解的问题被称为狄利克雷问题。

例子

常微分方程

在常微分方程情况下，如

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+3y=1}$

在区间${\displaystyle [0,1]}$， 狄利克雷边界条件有如下形式：

${\displaystyle y(0)=\alpha _{1}}$

${\displaystyle y(1)=\alpha _{2}}$

其中${\displaystyle \alpha _{1}}$和${\displaystyle \alpha _{2}}$是给定的数值。

偏微分方程

一个区域${\displaystyle \Omega \subset R^{n},}$上的偏微分方程，如

${\displaystyle \Delta y+y=0}$

其中${\displaystyle \Delta }$表示拉普拉斯算子，狄利克雷边界条件有如下的形式

${\displaystyle y(x)=f(x)\quad \forall x\in \partial \Omega }$

其中${\displaystyle f}$是边界${\displaystyle \partial \Omega }$上给定的已知函数。

工程应用

在热力学中，第一类边界条件的表述为：“将大平板看成一维问题处理时，平板一侧温度恒定。”

半无限大物体在导热方向上，当其边界温度一定为第一类。数学描述为：${\displaystyle T(x,0)=T1;T(0,t)=Ts}$

参见

• 诺伊曼边界条件