洛伦兹协变性

物理学中，洛伦兹协变性（英语：Lorentz covariance）是时空的一个关键性质，出自于狭义相对论，适用于全域性的场合。局域洛伦兹协变性（英语：Local Lorentz covariance）所指为仅“局域”于各点附近无限小时空区域的洛伦兹协变性，此则出于广义相对论。洛伦兹协变性有两个不同、但紧密关联的意义：

一个物理量要称为“洛伦兹协变的”（Lorentz covariant），则其是在洛伦兹群的表象下做变换。根据洛伦兹群的表象理论，这些量是以下述的量来建立的：标量、四维矢量、4-张量与旋量。注意到：比如时空距离等标量在洛伦兹变换下保持不变，而被称为一洛伦兹不变量（Lorentz invariant），亦即它们的变换是在平凡表象。
一方程被称为洛伦兹协变性的，是以其可以洛伦兹协变量的形式来写出（有些混淆的地方是有些人在此处用“不变量”这个词）。这样的方程的关键性质为：若其可在一个惯性参考系下成立，则他们可在任何惯性参考系成立（这是“若一张量的所有分量在一参考系中为零，则它们在所有参考系皆会是零”这项事实的结果）。这个条件是相对性原理的一项要求，即在两个不同的惯性参考系中，所有非重力定律对于在同一时空事件的等同实验必须做出一样结果的预测。

注意到：“协变的”这个词汇的使用不应与概念上相关的“一个协变向量”有所混淆。在流形上，词汇“协变”与“逆变”指的是客体在广义坐标变换下是采怎样的转变方式。较易造成混淆的一点是：协变与逆变四维矢量都可以是洛伦兹协变量。

另有将此概念做推广，以涵盖庞加莱协变性与庞加莱不变性。

一般来说，一个洛伦兹张量的本质可以利用它带有指标（含上、下标）的数量来辨识。若不带有指标则表示它是个标量，若带有一个指标则表示它是个向量，同理类推。

请注意：闵可夫斯基度规的形式被规定为 $diag(1,-1,-1,-1)$ ，这是参考了约翰·杰克森（John D. Jackson）的著作《经典电动力学》中所采用的形式。

洛伦兹标量

时空间距：

\Delta s^{2}=\eta _{ab}x^{a}x^{b}=c^{2}\Delta t^{2}-\Delta x^{2}-\Delta y^{2}-\Delta z^{2}\,

固有时（为一类时间距）：

\Delta \tau ={\sqrt {\frac {\Delta s^{2}}{c^{2}}}},\,\Delta s^{2}>0

静质量：

m_{0}^{2}c^{2}=\eta _{ab}p^{a}p^{b}={\frac {E^{2}}{c^{2}}}-p_{x}^{2}-p_{y}^{2}-p_{z}^{2}

电磁学不变量：

F_{ab}F^{ab}=\ 2\left(B^{2}-{\frac {E^{2}}{c^{2}}}\right)

G_{cd}F^{cd}=\epsilon _{abcd}F^{ab}F^{cd}=-{\frac {4}{c}}\left({\vec {B}}\cdot {\vec {E}}\right)

达朗贝尔/波算符：

\Box =\eta ^{ab}\partial _{a}\partial _{b}={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}

此外还有电荷 $q$ 和光速 $c$ 。

洛伦兹四维矢量

四维坐标：

x^{a}=[ct,x,y,z]

偏微分算符：

\partial _{a}=\left[{\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}},{\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial y}},{\frac {\partial }{\partial z}}\right]

四维速度：

U^{a}={\frac {dx^{a}}{d\tau }}=\gamma \left[c,{\frac {dx}{dt}},{\frac {dy}{dt}},{\frac {dz}{dt}}\right]

四维动量：

p^{a}=m_{0}U^{a}=\left[{\frac {E}{c}},p_{x},p_{y},p_{z}\right]

四维波矢：

k^{a}=\left[{\frac {\omega }{c}},k_{x},k_{y},k_{z}\right]

四维力：

f^{a}=\left[{\frac {W}{c}},f_{x},f_{y},f_{z}\right]

$W$ 是功率密度。

四维电流密度:

j^{a}=[c\rho ,j_{x},j_{y},j_{z}]\,

洛伦兹4-张量

克罗内克尔δ：

$\delta _{b}^{a}={\begin{cases}1,\\0,\end{cases}}$	如果 a=b,
	如果 a≠b.

闵可夫斯基度规：

$\eta _{ab}=\eta ^{ab}={\begin{cases}+1,\\-1,\\0,\end{cases}}$	如果 a = b = 0,
	如果 a = b = 1,2,3
	如果 a ≠b.

列维-奇维塔符号：

$\epsilon _{abcd}=-\epsilon ^{abcd}={\begin{cases}+1,\\-1,\\0,\end{cases}}$	如果 {abcd} 是 {0123} 的偶置换，
	如果 {abcd} 是 {0123} 的奇置换，
	其它。