几何变换

几何变换（geometric transformation）是指从具有几何结构之集合至其自身或其他此类集合的一种对射。具体来说，“几何变换是一个函数，其定义域与值域为点集合。几何变换最常见的定义域与值域为同时为R²，或同时为R³。其他的几何变换则要求须为一对一函数，使之有反函数^[1]。”可透过研究这些变换的方法来研究几何^[2]。

几何变换可以其操作集合的维度来分类（因此可分类出平面变换与空间变换等）。几何变换亦可依据其保留其性质来分类：

位移保留距离与方向角度；
等距同构保留距离与角度^[3]；
相似保留距离间的比例；
仿射变换保留平行^[3]；
投影变换保留共线性^[4]；

以上每种变换均包含前一种变换^[4]。

反演在平面上保留所有线及圆所组成的集合（但可能替换线与圆），而莫比乌斯变换则保留三维空间内的所有平面与球。

以法国地图为例：

微分同胚为一阶仿射的变换；前面所有变换都是微分同胚的特例^[5]。

共形变换保留角度在一阶的相似。

保积变换保留在平面上的面积，或在三维空间上的容量^[6]。该变换为行列式为1的一阶仿射变换。

同胚保留点的邻域。

相同类型的群变换可能是其他变换群的子群。

6 sources

另见

参考资料

[1]
Zalman Usiskin, Anthony L. Peressini, Elena Marchisotto – Mathematics for High School Teachers: An Advanced Perspective, page 84.
[2]
Venema, Gerard A., Foundations of Geometry, Pearson Prentice Hall: 285, 2006, ISBN 9780131437005
[3]
几何变换，第131页，载于Google图书
[4]
Leland Wilkinson, D. Wills, D. Rope, A. Norton, R. Dubbs – 几何变换，第182页，载于Google图书
[5]
stevecheng. first fundamental form (PDF). planetmath.org. 2013-03-13 [2014-10-01]. （原始内容存档 (PDF)于2014-07-14）.
[6]
几何变换，第191页，载于Google图书 Bruce E. Meserve – Fundamental Concepts of Geometry, page 191.]

[1] [1]
Zalman Usiskin, Anthony L. Peressini, Elena Marchisotto – Mathematics for High School Teachers: An Advanced Perspective, page 84.

[2] [2]
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[Berger-3] [3]
几何变换，第131页，载于Google图书

[Wilkinson-4] [4]
Leland Wilkinson, D. Wills, D. Rope, A. Norton, R. Dubbs – 几何变换，第182页，载于Google图书

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[6] [6]
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