数学上，塞迈雷迪正则性引理（Szemerédi regularity lemma）断言，给定任意一个足够大的图，都可以将其顶点集划分成若干个差不多一样大的子集，使得几乎每两个不同的子集之间的边，都具有随机二部图的性质。塞迈雷迪于 1975 年引入了该引理较弱的版本，其只适用于二部图，用作证明塞迈雷迪定理[1]，后来再于 1978 年证明了完整的版本[2]。 Vojtěch Rödl 及其合作者[3][4][5]和高尔斯[6][7]将正则性方法推广到超图上。
定义和引理叙述
设 X, Y 为 V 的两个互斥子集。定义 (X, Y) 的密度为
其中 E(X, Y) 为一个顶点在 X 中，而另一个顶点在 Y 中的边的集合。
对于 ε > 0, 称两个由顶点组成的集合 X 和 Y 为 ε-正则，若对任意满足|A| ≥ ε|X| 和 |B| ≥ ε|Y| 的子集 A ⊆ X 和 B ⊆ Y, 都有
设 V1, ..., Vk 为将 V 分成 k 份的划分。其称为 ε-正则划分，若：
- 对每个 i, j 都有 Vi 与 Vj 的大小至多相差 1.
- 除了至多 εk2 对满足 i < j 的 Vi, Vj 以外，其他的每一对都 ε-正则。
利用上述定义，可以写出引理的严格叙述。
对任意的 ε > 0 和正整数 m, 存在整数 M, 其满足：若 G 为至少有 M 个顶点的图，则存在整数 k 满足 m ≤ k ≤ M, 和一个 ε-正则划分将 G 的顶点集分成 k 份。
引理的证明所给出的 M 的上界极大，比如 m 的 O(ε−5) 次迭代幂次。若实际的上界并非如此大，而是 exp(ε -β) 的形式的话，则其可应用在其他地方。然而，高尔斯于 1997 年找到了一些图作为例子，证明 M 确实可以增长得极快，比如至少为 m 的 ε−1/16 次迭代幂次。由此可见，最佳的上界必定位于 Grzegorczyk 分层中的第 4 层，因此不属初等递归函数[8]。
推广
János Komlós、Gábor Sárközy和塞迈雷迪·安德烈其后（于 1997 年）证明了blow-up 引理[9][10] ，其断言塞迈雷迪正则性引理中的正则对，在特定意义下与完全二部图具有同样的性质。若考虑将大而疏的图，嵌入到一个稠密的图中，则适用 blow-up 引理来深入研究该嵌入的性质。
陶哲轩以概率方法证明了一条不等式，其推广了塞迈雷迪正则性引理[11]。
注意，不可能在塞迈雷迪正则性引理中，证明“所有”对都正则。原因是，一些图（比如半图）确实需要划分中有若干对顶点集非正则，尽管按照正则性引理，这样的对只占很小一部分。[12]
参考文献
参见
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