圆幂定理

圆幂定理（英语：circle power theorem），是平面几何中的一个定理。这定理指出，给定一个圆 $Γ$ 以及一点 $P$ ，从该点引出两条割线，分别与 $Γ$ 相交于 $A$ 、 $B$ 以及 $C$ 、 $D$ ，则有

{\overline {PA}}\cdot {\overline {PB}}={\overline {PC}}\cdot {\overline {PD}}

这个乘积，是 $P$ 对于 $Γ$ 的圆幂（英语：circle power），故定理以此为名。

圆幂定义

平面上任意一点 $P$ ，以及半径为 $r$ 、圆心为 $O$ 的圆，则定义圆幂 $h$ 为：

h=OP^{2}-r^{2}

。^[1]

从这个定义可知，若 $P$ 在圆内，则圆幂为负数；若 $P$ 在圆外，则圆幂为正数；若 $P$ 在圆周上，则有圆幂等于零。

圆幂又可等价地定义为：从该点穿过圆心的割线，与圆所作的两个交点，与该点距离的乘积。也就是说：

h={\overline {PA}}\cdot {\overline {PB}}

。

理由如下：

{\overline {PA}}\cdot {\overline {PB}}=(s-r)(s+r)=s^{2}-r^{2}=h

。

1 sources

圆幂定理有三个变体，分别是“相交弦定理”、“割线定理”及“切割线定理”。^[2]

1 sources

设有一圆，圆上有两条弦 $AB$ 及 $CD$ ，它们相交于 $E$ ，则有

{\overline {EA}}\cdot {\overline {EB}}={\overline {EC}}\cdot {\overline {ED}}

这个乘积，是 $E$ 的圆幂的相反数 $- h$ 。这是因为圆幂为非正数，而线段的乘积为正数。

设有一圆，圆外有一点 $P$ ，引出两条割线，分别与圆相交于 $A$ 、 $B$ 以及 $M$ 、 $N$ ，则有

{\overline {PA}}\cdot {\overline {PB}}={\overline {PM}}\cdot {\overline {PN}}

这个乘积，是 $P$ 的圆幂 $h$ 。

设有一圆，圆外有一点 $P$ ，引出一条割线，与圆相交于 $A$ 、 $B$ ，又引出一条切线，与圆相切于 $T$ ，则有

{\overline {PA}}\cdot {\overline {PB}}={\overline {PT}}^{2}

这个乘积，同样是 $P$ 的圆幂 $h$ 。

从同弓形内圆周角的性质可知， $Δ AED$ 与 $Δ CEB$ 是相似三角形，因此

{\frac {EA}{EC}}={\frac {ED}{EB}}

整理可得

EA\cdot EB=EC\cdot ED

证明完毕。

从同弓形内圆周角的性质可知， $Δ PAM$ 与 $Δ PNB$ 是相似三角形，因此

{\frac {PA}{PM}}={\frac {PN}{PB}}

整理可得

PA\cdot PB=PM\cdot PN

证明完毕。

从内错弓形圆周角的性质可知， $Δ PAT$ 与 $Δ PTB$ 是相似三角形，因此

{\frac {PA}{PT}}={\frac {PT}{PB}}

整理可得

PA\cdot PB={PT}^{2}

证明完毕。

[1]
Weisstein, Eric W. Circle Power. From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/CirclePower.html （页面存档备份，存于互联网档案馆）
[2]
Coxeter, H. S. M., Introduction to Geometry (2nd Edition), New York: Wiley, 1969