向量势

向量微积分中，向量势（英语：vector potential），或称向量位，是一个向量场，其旋度为一给定向量场。这情形类比于标量势为一标量场，其负值梯度为一给定向量场。

此条目介绍的是向量域的数学理论中的一般概念。关于电磁学中的矢势，请见“磁矢势”。关于流体力学中的矢势，请见“流量函数”。

形式上，给定一向量场 v，则向量势为一向量场 A 使得

${\displaystyle \mathbf {v} =\nabla \times \mathbf {A} }$。

若一向量场 v 具有向量势 A，则从等式

${\displaystyle \nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {A} )=0}$（旋度的散度为零）

可以得到

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {v} =\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {A} )=0,}$

暗示了v必须是个螺线向量场(solenoidal vector field)。

一个有意思的问题是：是否任何螺线向量场都具有一向量势？答案是肯定的，只要向量势满足一些特定条件。

定理

设

${\displaystyle \mathbf {v} :\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{3}}$

为二次连续可微的螺线向量场。假设当 ||x||→∞ 时，v(x) 下降得足够快。定义

${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {x} )={\frac {1}{4\pi }}\nabla \times \int _{\mathbb {R} ^{3}}{\frac {\mathbf {v} (\mathbf {y} )}{\left\|\mathbf {x} -\mathbf {y} \right\|}}\,d\mathbf {y} .}$

那么，A 是 v 的一个向量势，也就是说：

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {A} =\mathbf {v} .}$

这个定理的一个推广是亥姆霍兹分解，它表明任何一个向量场都可以分解为一个螺线向量场和一个无旋向量场的和。

非唯一性

螺线向量场所具有的向量势不是唯一的。如果 A 是 v 的一个向量势，那么：

${\displaystyle \mathbf {A} +\nabla m}$

也是一个向量势，其中m是任何一个连续可微的标量函数。这可以从梯度的旋度是零的事实推出。

参见

• 向量分析基本定理
• 磁矢势
• 螺线管

参考文献

• Fundamentals of Engineering Electromagnetics by David K. Cheng, Addison-Wesley, 1993.