区间

区间（英语：interval）在数学上是指某个范围的数的集合，或者更一般地是指某个范围的预序集元素的集合，一般以集合形式表示。

此条目介绍的是数学上的区间概念。关于铁路运输的区间概念，请见“闭塞 (铁路)”。

在图中的数轴上，所有大于x和小于x+a的数组成了一个开区间。

简说

在初等代数，传统上区间指一个集，包含在某两个特定实数之间的所有实数，亦可能包含该两个实数（或其中之一）。区间表示法是表示一个变数在某个区间内的方式。通用的区间表示法中，圆括号表示排除，方括号表示包括。例如，开区间${\displaystyle (10,20)}$表示所有在${\displaystyle 10}$和${\displaystyle 20}$之间的实数，但不包括${\displaystyle 10}$或${\displaystyle 20}$。另一方面，闭区间${\displaystyle [10,20]}$表示所有在${\displaystyle 10}$和${\displaystyle 20}$之间的实数，以及${\displaystyle 10}$和${\displaystyle 20}$。^[1]

定义

实区间

在赋予通常序的实数集${\displaystyle \mathbb {R} }$里，以${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }$为端点的开区间和闭区间分别是：

${\displaystyle (a,b)=\{x\in \mathbb {R} \colon a<x<b\}}$

${\displaystyle [a,b]=\{x\in \mathbb {R} \colon a\leq x\leq b\}}$

类似地，以${\displaystyle a,b}$为端点的两个半开区间定义为：

${\displaystyle (a,b]=\{x\in \mathbb {R} \colon a<x\leq b\}}$

${\displaystyle [a,b)=\{x\in \mathbb {R} \colon a\leq x<b\}}$

在一些上下文中，两个端点要求满足${\displaystyle a<b}$。这排除了${\displaystyle a=b}$从而区间或是单元素集合或是空集的情形，也排除了${\displaystyle a>b}$从而区间为空集的情形。

只有左端点${\displaystyle a}$的开区间和半开区间分别如下。

${\displaystyle (a,\infty )=\{x\in \mathbb {R} \colon x>a\},}$

${\displaystyle [a,\infty )=\{x\in \mathbb {R} \colon x\geq a\},}$

只有右端点${\displaystyle b}$的开区间和半开区间分别如下。

${\displaystyle (-\infty ,b)=\{x\in \mathbb {R} \colon x<b\},}$

${\displaystyle (-\infty ,b]=\{x\in \mathbb {R} \colon x\leq b\},}$

整个实数线等于没有端点的区间：

${\displaystyle (-\infty ,\infty )=\mathbb {R} }$

偏序集或预序集中的区间

区间的概念在任何偏序集或者更一般地，在任何预序集中有定义。对于预序集${\displaystyle (X,\lesssim )}$和两个元素${\displaystyle a,b\in X,}$，我们可以类似定义^{[2]:11, Definition 11}

${\displaystyle (a,b)=\{x\in X\colon a<x<b\}}$

${\displaystyle [a,b]=\{x\in X\colon a\lesssim x\lesssim b\}}$

${\displaystyle (a,b]=\{x\in X\colon a<x\lesssim b\}}$

${\displaystyle [a,b)=\{x\in X\colon a\lesssim x<b\}}$

${\displaystyle (a,\infty )=\{x\in X\colon a<x\}}$

${\displaystyle [a,\infty )=\{x\in X\colon a\lesssim x\}}$

${\displaystyle (-\infty ,b)=\{x\in X\colon x<b\}}$

${\displaystyle (-\infty ,b]=\{x\in X\colon x\lesssim b\}}$

${\displaystyle (-\infty ,\infty )=X}$

其中${\displaystyle x<y}$意思是${\displaystyle x\lesssim y\not \lesssim x}$。其实，只有一个端点或者没有端点的区间等同于更大的预序集

${\displaystyle {\bar {X}}=X\sqcup \{-\infty ,\infty \}}$

${\displaystyle -\infty <x<\infty \qquad (\forall x\in X)}$

上具有两个端点的区间，使得它是${\displaystyle X}$的子集。当${\displaystyle X=\mathbb {R} }$时，可以取${\displaystyle {\bar {\mathbb {R} }}}$为扩展实数线。

序凸集和序凸分支

预序集${\displaystyle (X,\lesssim )}$的子集${\displaystyle A\subseteq X}$是序凸集，如果对于任意${\displaystyle x,y\in A}$以及任意${\displaystyle x\lesssim z\lesssim y}$有${\displaystyle z\in A}$。与实区间的情形不同，预序集的序凸集不一定是区间。例如，在有理数的全序集${\displaystyle (\mathbb {Q} ,\leq )}$中，

${\displaystyle \mathbb {Q} =\{x\in \mathbb {Q} \colon x^{2}<2\}}$

是序凸集，但它不是${\displaystyle \mathbb {Q} }$的区间，这是因为2的平方根在${\displaystyle \mathbb {Q} }$中是不存在的。

设${\displaystyle (X,\lesssim )}$是一个预序集，且${\displaystyle Y\subseteq X}$。包含在${\displaystyle Y}$中的${\displaystyle X}$的序凸集关于包含关系构成偏序集。这个偏序集的极大元叫做${\displaystyle Y}$的序凸分支。^{[3]:Definition 5.1}由佐恩引理，包含在${\displaystyle Y}$中的${\displaystyle X}$的任意序凸集包含于${\displaystyle Y}$的一个序凸分支，然而这种序凸分支不一定是唯一的。在全序集中，这样的序凸分支确实唯一。也就是说，全序集的子集的序凸分支构成分划。

区间算术

区间算术又称区间数学、区间分析、区间计算，在1950、60年代引进以作数值分析上计算舍去误差的工具。

${\displaystyle T\times S=\{x\mid {}}$属于${\displaystyle T}$的某些${\displaystyle y}$，及属于${\displaystyle S}$的某些${\displaystyle z}$，使得${\displaystyle x=y\times z\}}$

区间算术的基本运算是，对于实数线上的子集${\displaystyle [a,b]}$及${\displaystyle [c,d]}$：

${\displaystyle [a,b]+[c,d]=[a+c,b+d]}$

${\displaystyle [a,b]-[c,d]=[a-d,b-c]}$

${\displaystyle [a,b]\times [c,d]=[\min\{ac,ad,bc,bd\},\max\{ac,ad,bc,bd\}]}$

${\displaystyle {\frac {[a,b]}{[c,d]}}=\left[\min \left\{{\frac {a}{c}},{\frac {a}{d}},{\frac {b}{c}},{\frac {b}{d}}\right\},\max \left\{{\frac {a}{c}},{\frac {a}{d}},{\frac {b}{c}},{\frac {b}{d}}\right\}\right]}$

被一个包含零的区间除，在基础区间算术上无定义。

加法和乘法符合交换律、结合律和子分配律：集${\displaystyle X(Y+Z)}$是${\displaystyle XY+XZ}$的子集。

另一种写法

在法国及其他一些欧洲国家，用${\displaystyle ][}$代替${\displaystyle ()}$来表示开区间，例如：

${\displaystyle \left]a,b\right[=\{x\mid a<x<b\}}$

${\displaystyle \left[a,b\right]=\{x\mid a\leq x\leq b\}}$

${\displaystyle \left[a,b\right[=\{x\mid a\leq x<b\}}$

${\displaystyle \left]a,b\right]=\{x\mid a<x\leq b\}}$

国际标准化组织编制的ISO 31-11也允许这种写法^[4]。

另外，在小数点以逗号来表示的情况下，为免产生混淆，分隔两数的逗号要用分号来代替，例如将${\displaystyle [1,2.3]}$写成${\displaystyle [1;2,\!3]}$。若只把小数点写成逗号，就会变成${\displaystyle [1,2,\!3]}$，此时不易判断究竟是${\displaystyle 1.2}$与${\displaystyle 3}$之间，还是${\displaystyle 1}$与${\displaystyle 2.3}$之间的闭区间。

参考

1. Interval and segment - Encyclopedia of Mathematics. encyclopediaofmath.org. Springer & The European Mathematical Society. [2021-05-18]. （原始内容存档于2014-12-26）.
2. Vind, Karl. Independence, additivity, uncertainty. Studies in Economic Theory 14. Berlin: Springer. 2003. ISBN 978-3-540-41683-8. Zbl 1080.91001. doi:10.1007/978-3-540-24757-9 （英语）.
3. Heath, R. W.; Lutzer, David J.; Zenor, P. L. Monotonically normal spaces. Transactions of the American Mathematical Society. 1973, 178: 481–493. ISSN 0002-9947. MR 0372826. Zbl 0269.54009. doi:10.2307/1996713 （英语）.
4. ISO 31-11:1992. ISO. [2021-05-18]. （原始内容存档于2021-05-18） （英语）.