切比雪夫偏差

在数论上，切比雪夫偏差（Chebyshev's bias）指的是说在多数时候，在给定的界限下，除4余3的质数个数，会多于除4余1的质数的现象。这现象最早由帕夫努季·切比雪夫于1853年观察到。

直至${\displaystyle n\leq 30000}$为止的${\displaystyle \pi (x;4,3)-\pi (x;4,1)}$的值。

叙述

设${\displaystyle \pi (x;n,m)}$为不大于x且形如${\displaystyle nk+m}$的质数的数量，那么根据质数定理在算术数列上的推广，有以下关系：

${\displaystyle \pi (x;4,1)\sim \pi (x;4,3)\sim {\frac {1}{2}}{\frac {x}{\log x}}.}$

也就是说，大约一半的质数除4余1，另外一半则是除4余3的。因此一个合理的猜测是${\displaystyle \pi (x;4,1)>\pi (x;4,3)}$跟${\displaystyle \pi (x;4,3)>\pi (x;4,1)}$的发生率大约相等；然而这点并不受数据支持，实际上，${\displaystyle \pi (x;4,3)>\pi (x;4,1)}$远远更常发生。像例如说对于所有小于26833且不等于5、17、41及461的x而言，${\displaystyle \pi (x;4,3)>\pi (x;4,1)}$，而在x等于5、17、41及461的状况下，则有${\displaystyle \pi (x;4,3)=\pi (x;4,1)}$；而第一个使得${\displaystyle \pi (x;4,1)>\pi (x;4,3)}$的x是26861，也就是说，对于任意的x < 26861而言，${\displaystyle \pi (x;4,3)\geq \pi (x;4,1)}$。

更一般地，若${\displaystyle 0<a,b<n}$是整数，其彼此的最大公因数有${\displaystyle \gcd(a,n)=\gcd(b,n)=1}$这样的关系，且a为模n的二次剩余a为模n的二次非剩余，那么${\displaystyle \pi (x;n,b)>\pi (x;n,a)}$是更常发生的。这点只有在假定强形式的黎曼猜想成立的状况下得证。

Knapowski（英语：Stanisław Knapowski）和图兰两氏曾提出更强的猜想，认为使得${\displaystyle \pi (x;4,3)>\pi (x;4,1)}$成立的x的密度为一，也就是说${\displaystyle \pi (x;4,3)>\pi (x;4,1)}$对几乎所有的x成立；然而这两氏提出的猜想已被否证；而实际上使之成立的数的对数密度大约为0.9959....。^[1]

推广

相关的问题可转化成对于${\displaystyle k=-4}$而言，使得${\displaystyle \sum _{q\leq p,\ q\ {\text{is prime}}}\left({\frac {k}{q}}\right)>0}$成立的最小质数p，其中${\displaystyle \left({\frac {m}{n}}\right)}$是克罗内克符号；然而对于任意给定的不为零的k（不仅是${\displaystyle k=-4}$），也能找使上式成立的最小质数p。从质数定理可知，对于任意非零的整数k，有无限多个质数p满足此条件。

对于正整数${\displaystyle k=1,2,3,\cdots }$而言，最小质数p如下所示：

2, 11100143, 61981, 3, 2082927221, 5, 2, 11100143, 2, 3, 577, 61463, 2083, 11, 2, 3, 2, 11100121, 5, 2082927199, 1217, 3, 2, 5, 2, 17, 61981, 3, 719, 7, 2, 11100143, 2, 3, 23, 5, 11, 31, 2, 3, 2, 13, 17, 7, 2082927199, 3, 2, 61463, 2, 11100121, 7, 3, 17, 5, 2, 11, 2, 3, 31, 7, 5, 41, 2, 3, ... （ A306499是 A003658对于${\displaystyle k=1,5,8,12,13,17,21,24,28,29,33,37,40,41,44,53,56,57,60,61,\cdots }$的子序列）

对于负整数${\displaystyle k=1,2,3,\cdots }$而言，最小质数p如下所示：

2, 3, 608981813029, 26861, 7, 5, 2, 3, 2, 11, 5, 608981813017, 19, 3, 2, 26861, 2, 643, 11, 3, 11, 31, 2, 5, 2, 3, 608981813029, 48731, 5, 13, 2, 3, 2, 7, 11, 5, 199, 3, 2, 11, 2, 29, 53, 3, 109, 41, 2, 608981813017, 2, 3, 13, 17, 23, 5, 2, 3, 2, 1019, 5, 263, 11, 3, 2, 26861, ... （ A306500是 A003657对于${\displaystyle k=-3,-4,-7,-8,-11,-15,-19,-20,-23,-24,-31,-35,-39,-40,-43,-47,-51,-52,-55,-56,-59,\cdots }$的子序列）

对于任意非平方整数k而言，多数时候，在给定的界限下，使得${\displaystyle \left({\frac {k}{p}}\right)=-1}$的质数p会多于使得${\displaystyle \left({\frac {k}{p}}\right)=1}$质数p。

延伸至高次剩余

设m和n是两个彼此互质的正整数，那么可定义以下函数：

$${\displaystyle f(m,n)=\sum _{p{\text{ is prime, }}p\,\mid \,\varphi (n),\ x^{p}\,\equiv \,m{\pmod {n}}{\text{ has a solution }}}\left({\frac {1}{p}}\right)}$$

其中${\displaystyle \varphi }$是欧拉函数。

这函数的一些数值如次：${\displaystyle f(1,5)=f(4,5)=1/2,f(2,5)=f(3,5)=0,f(1,6)=1/2,f(5,6)=0,f(1,7)=5/6,f(2,7)=f(4,7)=1/2,f(3,7)=f(5,7)=0,f(6,7)=1/3,f(1,8)=1/2,f(3,8)=f(5,8)=f(7,8)=0,f(1,9)=5/6,f(2,9)=f(5,9)=0,f(4,9)=f(7,9)=1/2,f(8,9)=1/3}$。

目前有猜想认为，若若${\displaystyle 0<a,b<n}$是整数，其彼此的最大公因数有${\displaystyle \gcd(a,n)=\gcd(b,n)=1}$这样的关系，且同时${\displaystyle f(a,n)>f(b,n)}$成立，那么${\displaystyle \pi (x;n,b)>\pi (x;n,a)}$是更常发生的。

参考资料

1. (Rubinstein—Sarnak, 1994)

• P.L. Chebyshev: Lettre de M. le Professeur Tchébychev à M. Fuss sur un nouveaux théorème relatif aux nombres premiers contenus dans les formes 4n + 1 et 4n + 3, Bull. Classe Phys. Acad. Imp. Sci. St. Petersburg, 11 (1853), 208.
• Granville, Andrew; Martin, Greg. Prime number races. Amer. Math. Monthly. 2006, 113 (1): 1–33. JSTOR 27641834. S2CID 3846453. doi:10.1080/00029890.2006.11920275.
• J. Kaczorowski: On the distribution of primes (mod 4), Analysis, 15 (1995), 159–171.
• S. Knapowski, Turan: Comparative prime number theory, I, Acta Math. Acad. Sci. Hung., 13 (1962), 299–314.
• Rubinstein, M.; Sarnak, P. Chebyshev's bias. Experimental Mathematics. 1994, 3 (3): 173–197. doi:10.1080/10586458.1994.10504289.

外部链接

• 埃里克·韦斯坦因. Chebyshev Bias. MathWorld.
• （OEIS数列A007350）─给出除4余3的质数个数和除4余1的质数相对个数彼此交换的点的列表
• （OEIS数列A007352）─给出除3余1的质数个数和除3余2的质数相对个数彼此交换的点的列表