Γ函数

在数学中，${\displaystyle \Gamma \,}$函数（伽玛函数；Gamma函数），是阶乘函数在实数与复数域上的扩展。如果${\displaystyle n}$为正整数，则：

${\displaystyle \Gamma (n)=(n-1)!}$

Γ函数在实数定义域上的函数图形

根据解析延拓原理，伽玛函数可以定义在除去非正整数的整个复数域上：

${\displaystyle \Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}\mathrm {e} ^{-t}{\rm {{d}t,}}}$ ${\displaystyle \Re (z)>0.}$

数学家勒让德首次使用了希腊字母Γ作为该函数的记号。在概率论和组合数学中此函数很常用。

定义

${\displaystyle \Gamma \,}$函数可以通过欧拉（Euler）第二类积分定义：

${\displaystyle \Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}\mathrm {e} ^{-t}{\rm {{d}t}}}$

对复数${\displaystyle z\,}$，我们要求${\displaystyle \mathrm {Re} (z)>0}$。

${\displaystyle \Gamma }$函数还可以通过对${\displaystyle \mathrm {e} ^{-t}\,}$做泰勒展开，解析延拓到整个复平面： ${\displaystyle \Gamma (z)=\int _{1}^{\infty }{\frac {t^{z-1}}{\mathrm {e} ^{t}}}{\rm {d}}t+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n!}}{\frac {1}{n+z}}}$

这样定义的${\displaystyle \Gamma }$函数在全平面除了${\displaystyle z=0,-1,-2,\ldots }$以外的地方解析。

${\displaystyle \Gamma }$函数也可以用无穷乘积的方式表示：

${\displaystyle \Gamma (z)={\frac {1}{z}}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{-1}\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{z}}$

这说明${\displaystyle \Gamma (z)}$是亚纯函数，而${\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (z)}}}$是全纯函数。

历史动机

Γ函数本身可以被看作是一个下列插值问题的解：

‘找到一个光滑曲线连接那些由 ${\displaystyle y=(x-1)!}$ 所给定的点${\displaystyle (x,y)}$，并要求${\displaystyle x}$要为正整数’

由前几个的阶乘清楚地表明这样的曲线是可以被画出来的，但是我们更希望有一个精确的公式去描述这个曲线，并让阶乘的操作不会依赖于${\displaystyle x}$值的大小。而最简单的阶乘公式 ${\displaystyle x!=1\times 2\times \cdots \times x}$ 不能直接应用在${\displaystyle x}$值为分数的时候，因为它被限定在${\displaystyle x}$值为正整数而已。相对而言，并不存在一个有限的关于加总、乘积、幂次、指数函数或是对数函数可以表达 ${\displaystyle x!}$，但是是有一个普遍的公式借由微积分的积分与极限去表达阶乘的，而 Γ函数就是那个公式。^[1]

阶乘有无限多种的连续扩张方式将定义域扩张到非整数：可以通过任何一组孤立点画出无限多的曲线。Γ函数是实务上最好的一个选择，因为是解析的(除了非正整数点)，而且它可以被定义成很多种等价形式。然而，它并不是唯一一个扩张阶乘意义的解析函数，只要给予任何解析函数，其在正整数上为零，像是 ${\displaystyle k\sin(m\pi x)}$，会给出其他函数有着阶乘性质。

无穷乘积

${\displaystyle \Gamma \,}$函数可以用无穷乘积表示：

${\displaystyle \Gamma (z)=\lim _{n\to {\infty }}n!\;n^{z}\prod _{k=0}^{n}(z+k)^{-1}}$

${\displaystyle \Gamma (z)={\frac {\mathrm {e} ^{-\gamma z}}{z}}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{-1}\mathrm {e} ^{\frac {z}{n}}}$

其中${\displaystyle \gamma \,}$是欧拉-马歇罗尼常数。

Γ积分

${\displaystyle 1=\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{\alpha -1}\lambda ^{\alpha }\mathrm {e} ^{-\lambda x}}{\Gamma \left(\alpha \right)}}{\rm {d}}x}$

${\displaystyle \implies {\frac {\Gamma \left(\alpha \right)}{\lambda ^{\alpha }}}=\int _{0}^{\infty }x^{\alpha -1}\mathrm {e} ^{-\lambda x}{\rm {d}}x}$

递推公式

${\displaystyle \Gamma \,}$函数的递推公式为： ${\displaystyle \Gamma (x+1)=x\Gamma (x)}$，

对于正整数${\displaystyle n\,}$，有

${\displaystyle \Gamma (n+1)=n!}$，

可以说${\displaystyle \Gamma \,}$函数是阶乘的推广。

递推公式的推导

${\displaystyle \Gamma (n+1)=\int _{0}^{\infty }\mathrm {e} ^{-x}x^{n+1-1}\mathrm {d} x=\int _{0}^{\infty }\mathrm {e} ^{-x}x^{n}{\rm {d}}x}$

我们用分部积分法来计算这个积分：

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\mathrm {e} ^{-x}x^{n}\mathrm {d} x=\left[{\frac {-x^{n}}{\mathrm {e} ^{x}}}\right]_{0}^{\infty }+n\int _{0}^{\infty }\mathrm {e} ^{-x}x^{n-1}{\rm {d}}x}$

当${\displaystyle x=0\,}$时，${\displaystyle {\tfrac {-0^{n}}{\mathrm {e} ^{0}}}={\tfrac {0}{1}}=0}$。当${\displaystyle x\,}$趋于无穷大时，根据洛必达法则，有：

${\displaystyle \lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {-x^{n}}{\mathrm {e} ^{x}}}=\lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {-n!\cdot 0}{\mathrm {e} ^{x}}}=0}$.

因此第一项${\displaystyle \left[{\tfrac {-x^{n}}{\mathrm {e} ^{x}}}\right]_{0}^{\infty }}$变成了零，所以：

${\displaystyle \Gamma (n+1)=n\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{n-1}}{\mathrm {e} ^{x}}}{\rm {d}}x}$

等式的右面正好是${\displaystyle n\Gamma (n)\,}$, 因此，递推公式为：

${\displaystyle {\Gamma (n+1)=n\Gamma (n)}\,}$.

重要性质

• 当${\displaystyle z\to 0^{+}}$时，${\displaystyle \Gamma (z)\to +\infty }$
• 欧拉反射公式（余元公式）：

${\displaystyle \Gamma (z)\Gamma (1-z)={\frac {\pi }{\sin {\pi z}}}\quad (0<\mathrm {Re} (z)<1)}$.

由此可知当${\displaystyle \ z={\tfrac {1}{2}}}$时，${\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{2}}\right)={\sqrt {\pi }}}$.

• 伽马函数还是负自然指数函数的梅林变换: ${\displaystyle \Gamma (z)={\mathcal {M}}\{e^{-x}\}(z).}$

• 乘法定理：

${\displaystyle \Gamma (z)\;\Gamma \left(z+{\tfrac {1}{2}}\right)=2^{1-2z}\;{\sqrt {\pi }}\;\Gamma (2z)}$。

${\displaystyle \Gamma (z)\;\Gamma \left(z+{\tfrac {1}{m}}\right)\;\Gamma \left(z+{\tfrac {2}{m}}\right)\cdots \Gamma \left(z+{\tfrac {m-1}{m}}\right)=(2\pi )^{\frac {m-1}{2}}\;m^{{\frac {1}{2}}-mz}\;\Gamma (mz)}$.

• 此外：

${\displaystyle \Gamma \left(n+{\tfrac {1}{2}}\right)={\frac {(2n)!{\sqrt {\pi }}}{n!4^{n}}}}$.

• 使用乘法定理推导的关系：

${\displaystyle \Gamma (1/6)=\Gamma (1/3)^{2}/{\sqrt {\pi }}*2^{2/3}*\sin({\pi /3}).}$

${\displaystyle \Gamma (5/6)=1/\Gamma (1/3)^{2}*{\sqrt {\pi }}^{3}*2^{4/3}/{\sqrt {3}}.}$

${\displaystyle \Gamma (1/10)=\Gamma (1/5)*\Gamma (2/5)/{\sqrt {\pi }}*2^{4/5}*\sin({2*\pi /5}).}$

${\displaystyle \Gamma (3/10)=\Gamma (1/5)/\Gamma (2/5)*{\sqrt {\pi }}/2^{3/5}/\sin({3*\pi /10}).}$

${\displaystyle \Gamma (7/10)=\Gamma (2/5)/\Gamma (1/5)*{\sqrt {\pi }}*2^{3/5}.}$

${\displaystyle \Gamma (9/10)=1/(\Gamma (1/5)*\Gamma (2/5))*{\sqrt {\pi }}^{3}/2^{4/5}/(\sin(\pi /10)*\sin({2*\pi /5})).}$

^[2]

此式可用来协助计算t分布概率密度函数、卡方分布概率密度函数、F分布概率密度函数等的累计概率。

• 极限性质

对任何实数α

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {\Gamma (n+\alpha )}{\Gamma (n)n^{\alpha }}}=1,\qquad \alpha \in \mathbf {R} }$

斯特灵公式

Γ函数与斯特灵公式

${\displaystyle \Gamma (z+1)}$（蓝色）、${\displaystyle {\sqrt {2\pi z}}\left({\frac {z}{e}}\right)^{z}}$（橘色），数字越大${\displaystyle {\sqrt {2\pi z}}\left({\frac {z}{e}}\right)^{z},}$会越趋近${\displaystyle \Gamma (z+1)}$。但${\displaystyle {\sqrt {2\pi z}}\left({\frac {z}{e}}\right)^{z}}$会在负值则会因为出现虚数而无法使用。

主条目：斯特灵公式

斯特灵公式能用以估计${\displaystyle \Gamma (z)}$函数的增长速度。公式为：

${\displaystyle \Gamma (z+1)\sim {\sqrt {2\pi z}}\left({\frac {z}{e}}\right)^{z},}$

其中e约等于2.718281828459。

特殊值

${\displaystyle {\begin{array}{rcccl}\Gamma \left(-{\tfrac {3}{2}}\right)&=&{\tfrac {4}{3}}{\sqrt {\pi }}&\approx &2.363\,271\,801\,207\\\Gamma \left(-{\tfrac {1}{2}}\right)&=&-2{\sqrt {\pi }}&\approx &-3.544\,907\,701\,811\\\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}\right)&=&{\sqrt {\pi }}&\approx &1.772\,453\,850\,906\\\Gamma (1)&=&0!&=&1\\\Gamma \left({\tfrac {3}{2}}\right)&=&{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}&\approx &0.886\,226\,925\,453\\\Gamma (2)&=&1!&=&1\\\Gamma \left({\tfrac {5}{2}}\right)&=&{\tfrac {3}{4}}{\sqrt {\pi }}&\approx &1.329\,340\,388\,179\\\Gamma (3)&=&2!&=&2\\\Gamma \left({\tfrac {7}{2}}\right)&=&{\tfrac {15}{8}}{\sqrt {\pi }}&\approx &3.323\,350\,970\,448\\\Gamma (4)&=&3!&=&6\end{array}}}$

连分数表示

伽马函数也可以在复数域表示为两个连分数之和^[3]：

${\displaystyle \Gamma (z)={\cfrac {e^{-1}}{2+0-z+1{\cfrac {z-1}{2+2-z+2{\cfrac {z-2}{2+4-z+3{\cfrac {z-3}{2+6-z+4{\cfrac {z-4}{2+8-z+5{\cfrac {z-5}{2+10-z+\ddots }}}}}}}}}}}}+{\cfrac {e^{-1}}{z+0-{\cfrac {z+0}{z+1+{\cfrac {1}{z+2-{\cfrac {z+1}{z+3+{\cfrac {2}{z+4-{\cfrac {z+2}{z+5+{\cfrac {3}{z+6-\ddots }}}}}}}}}}}}}}}$

导数

Γ函数的微分

Γ函数（蓝色）、Γ函数的微分（橘色），其中，大于50与小于-20的部分被截掉。

对任何复数z，满足 Re(z) > 0，有

${\displaystyle {\frac {{\rm {d}}^{n}}{{\rm {d}}z^{n}}}\,\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}(\ln t)^{n}dt}$

于是，对任何正整数 m

${\displaystyle \Gamma '(m+1)=m!\left(-\gamma +\sum _{k=1}^{m}{\frac {1}{k}}\right)\,}$

其中γ是欧拉-马歇罗尼常量。

复数值

${\displaystyle \Gamma (x+{\rm {i}}y)=\left\{\int _{1}^{\infty }{\frac {t^{x-1}}{\mathrm {e} ^{t}}}\cos(y\ln t){\rm {d}}t+\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k!}}\left[{\frac {k+x}{(k+x)^{2}+y^{2}}}\right]\right\}+{\rm {i}}\left\{\int _{1}^{\infty }{\frac {t^{x-1}}{\mathrm {e} ^{t}}}\sin(y\ln t){\rm {d}}t-\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k!}}{\left[{\frac {y}{(k+x)^{2}+y^{2}}}\right]}\right\}\,}$

解析延拓

Γ函数的绝对值函数图形

注意到在${\displaystyle \Gamma }$函数的积分定义中若取${\displaystyle z\,}$为实部大于零之复数、则积分存在，而且在右半复平面上定义一个全纯函数。利用函数方程

${\displaystyle \Gamma (z)\Gamma (1-z)={\frac {\pi }{\sin {\pi z}}}\quad (0<\mathrm {Re} (z)<1)}$

并注意到函数${\displaystyle \sin(\pi z)\,}$在整个复平面上有解析延拓，我们可以在${\displaystyle \mathrm {Re} (z)<1}$时设

${\displaystyle \Gamma (z)={\dfrac {\pi }{\Gamma (1-z)\sin {\pi z}}}}$

从而将${\displaystyle \Gamma \,}$函数延拓为整个复平面上的亚纯函数，它在${\displaystyle z=0,-1,-2,-3\cdots }$有单极点，留数为

${\displaystyle \mathrm {Res} (\Gamma ,-n)={\dfrac {(-1)^{n}}{n!}}.}$

程序实现

许多编程语言或表格软件有提供Γ函数或对数的Γ函数，例如EXCEL。而对数的Γ函数还要再取一次自然指数才能获得Γ函数值。例如在EXCEL中，可使用GAMMALN函数，再用EXP[GAMMALN(X)]，即可求得任意实数的伽玛函数的值。

• 例如在EXCEL中：EXP[GAMMALN(4/3)]=0.89297951156925

而在没有提供Γ函数的程序环境中，也能够过泰勒级数或斯特灵公式等方式来近似，例如Robert H. Windschitl在2002年提出的方法，其在十进制可获得有效数字八位数的精确度^[4]，已足以填满单精度浮点数的二进制有效数字24位：

${\displaystyle \Gamma (z)\approx {\sqrt {\frac {2\pi }{z}}}\left({\frac {z}{e}}{\sqrt {z\sinh {\frac {1}{z}}+{\frac {1}{810z^{6}}}}}\right)^{z}}$

参见

• 双伽玛函数
• 多伽玛函数
• 倒数伽玛函数
• 反伽玛函数
• 伽玛分布

参考文献

1. P. J., Davis. Leonhard Euler's Integral: A Historical Profile of the Gamma Function. American Mathematical Monthly. 1959 [2023-01-01]. doi:10.2307/2309786. （原始内容存档于2023-01-01）.
2. Mada, L. Relations of the Gamma function. R code on Github. Code publicly available on Github [Personal Research]. 2020-04-24 [2020-04-24]. （原始内容存档于2021-04-02）. Relations of the Gamma function
3. Exponential integral E: Continued fraction representations. [2023-01-01]. （原始内容存档于2022-11-09）.
4. Viktor T. Toth. "Programmable Calculators: Calculators and the Gamma Function". 2006 [2018-11-18]. （原始内容存档于2007-02-23）.

外部链接

• 神奇的Gamma函数(上)
• 神奇的Gamma函数(下)