介值定理

在数学分析中，介值定理（英语：intermediate value theorem，又称中间值定理）描述了连续函数在两点之间的连续性：

假设 ${\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} }$ 为一连续函数。若一实数 ${\displaystyle u}$ 满足 ${\displaystyle (f(a)-u)(f(b)-u)\leq 0}$，则存在一实数 ${\displaystyle c\in [a,b]}$ 使得 ${\displaystyle f(c)=u}$。

提示：此条目的主题不是中值定理。

介值定理首先由伯纳德·波尔查诺在1817年提出和证明，在这个证明中，他附带证明了波尔查诺－魏尔斯特拉斯定理。

定理

介值定理图解

定理叙述

介值定理 —  设 ${\displaystyle a<b}$，且 ${\displaystyle f\colon [a,b]\to \mathbb {R} }$ 为一连续函数。则下列叙述成立：

• 对任意满足 ${\displaystyle (f(a)-u)(f(b)-u)<0}$ 的实数 ${\displaystyle u}$，皆存在一实数 ${\displaystyle c\in (a,b)}$ 使得 ${\displaystyle f(c)=u}$。
• ${\displaystyle f}$ 的值域为一闭区间。

证明

先证明第一种情况 ${\displaystyle f(a)<u<f(b)}$；第二种情况也类似。${\displaystyle }$

设 ${\displaystyle S}$ 为所有满足 ${\displaystyle f(x)\leq u}$ 的 ${\displaystyle x\in [a,b]}$ 所构成的集合。由 ${\displaystyle a\in S}$ 可知 ${\displaystyle S}$ 非空。由于 ${\displaystyle S}$ 具有上界 ${\displaystyle b}$，故由实数的完备性知 ${\displaystyle S}$ 有最小上界 ${\displaystyle c=\sup S}$。我们以反证法证明 ${\displaystyle f(c)=u}$。

• 首先假设 ${\displaystyle f(c)>u}$。由于 ${\displaystyle f}$ 连续，我们能找到正实数 ${\displaystyle \delta }$ 使得 ${\displaystyle \left|f(x)-f(c)\right|<f(c)-u}$ 对所有 ${\displaystyle x\in (c-\delta ,c+\delta )}$ 均成立。由于 ${\displaystyle c=\sup S}$，故存在满足 ${\displaystyle c-\delta <y\leq c}$ 的 ${\displaystyle y\in S}$；此时 ${\displaystyle {\mathopen {|}}y-c{\mathclose {|}}<\delta }$，故 ${\displaystyle f(y)-f(c)>-(f(c)-u)}$，即 ${\displaystyle f(y)>u}$，与 ${\displaystyle y\in S}$ 矛盾。故原假设 ${\displaystyle f(c)>u}$ 不成立。
• 接着假设 ${\displaystyle f(c)<u}$。由于 ${\displaystyle f}$ 连续，我们能找到正实数 ${\displaystyle \delta }$ 使得 ${\displaystyle \left|f(x)-f(c)\right|<u-f(c)}$ 对所有 ${\displaystyle x\in (c-\delta ,c+\delta )}$ 均成立。设 ${\displaystyle y=c+\delta /2}$；此时 ${\displaystyle f(y)-f(c)<u-f(c)}$，即 ${\displaystyle f(y)<u}$，故 ${\displaystyle y\in S}$。这会导致 ${\displaystyle c}$ 不是 ${\displaystyle S}$ 的上界，矛盾。故原假设 ${\displaystyle f(c)<u}$ 不成立。

因此${\displaystyle f(c)=u}$。

与实数完备性的关系

此定理仰赖于实数完备性，它对有理数不成立。例如函数${\displaystyle f(x)=x^{2}-2}$满足${\displaystyle f(0)=-2,f(2)=2}$，但不存在满足${\displaystyle f(x)=0}$的有理数${\displaystyle x}$。

零点定理（波尔查诺定理）

零点定理是介值定理的一种特殊情况－如果曲线上两点的值正负号相反，其间必定存在一个根：

设函数${\displaystyle f(x)}$在闭区间${\displaystyle [a,b]}$上连续，且${\displaystyle f(a)\cdot f(b)<0}$，则必存在${\displaystyle \xi \in (a,b)}$使${\displaystyle f(\xi )=0}$成立。由于零点定理可用来找一方程式的根，也称为勘根定理。伯纳德·波尔查诺于1817年证明了这个定理，同时证明了这个定理的一般情况（即介值定理）。以现代的标准来说，他的证明并不算是非常严格。^[1]

现实世界中的意义

介值定理意味着在地球的任何大圆上，温度、压强、海拔、二氧化碳的浓度（或其他任何连续变化的变量），总存在两个对跖点，在这两个点上该变量的值是相同的。

证明：取f为圆上的任何连续函数。通过圆的中心作一条直线，与圆相交于点A和点B。设d为f(A) − f(B)的差。如果把这条直线旋转180度，将得到值−d。根据介值定理，一定存在某个旋转角，使得d = 0，在这个角度上便有f(A) = f(B)。

这是一个更加一般的结果——博苏克-乌拉姆定理的特殊情况。

参见

• 中值定理
• 极值定理
• 达布定理

参考资料

1. Weisstein, Eric W. (编). Bolzano's Theorem. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）.

外部链接

• cut-the-knot上的介值定理-波尔查诺定理（页面存档备份，存于互联网档案馆）
• 埃里克·韦斯坦因. Intermediate Value Theorem. MathWorld.