三立方数和问题（英语：sums of three cubes）是指丢番图方程是否存在整数解的问题。由于立方数模9同余0、1或-1，三立方数和模9不可能同余4或5，因而这是整数解存在的一个必要条件。然而，对于该条件是否同时为充分条件目前仍未有定论。
小整数例
时，若存在非平凡的三立方解，则费马大定理找到反例。此时三个立方数中必有两个同号，经移项，就会出现两正整数立方和等于另一正整数立方的情况。由于欧拉早已证明幂次为3的费马大定理[1]，在时的三立方和只有如下平凡解：
时，存在如下解系，有无数解：
以及，
上述表示经缩放可得，任意立方数或立方数的二倍都有三立方和[2][3]。除上述表示外，也有其他三立方和解系[4]，有如下著名解[4][5]：
然而，已经证明只在1和2处存在能被四次多项式参数化的解析表示[6]。即便在处，也没有参数化解系。路易斯·J·莫德尔在1953年写道，除了其小整数解，“我对其一无所知”，即：
“我”也不知道为什么这三个数都满足模9同余[7]。2019年9月前，上述两式曾经是长期以来仅有的2组已知解[8]，但就在同一月，发现了第3组解[9][10]：
计算结果
1955年起，莫德尔（Mordell）等许多学者都尝试过使用计算机寻找该问题的解。[11][12][5][13][14][15][16][17][18]对于1000以内的正整数，埃尔森汉斯（Elsenhans）与雅内尔（Jahnel）于2009年使用诺姆·埃尔奇斯提出的基于格规约的方法[15]找到了范围内的所有解。2016年，于斯曼（Huisman）使用同样的方法将搜索上界提升至。到此时为止，的正整数中，33与42以外所有模9不同余4或5的都找到了至少一组整数解。[18]
2019年，安德鲁·布克采用一种新方法发现了的一组解：[19]
此时，他在的范围里尚没有找到的解。[19]
随后在2019年9月，布克和安德鲁·萨瑟兰最终敲定了42的一个解，并在MIT数学系的网站上贴了出来[注 1]：
这个解的获得在Charity Engine全球网络（Charity Engine's global grid）上耗费了130万机时。
至此1到100之间的所有整数都确认了是否有非零整数解[20]。截至2019年9月[update]，未能求解最小整数是[8]，如果有解的话，至少有一数大于100000000000。
在2021年1月初，又解决了579[21]：
注释
参考文献
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