代數內部

作為數學的一個分支，在泛函分析中，向量空間子集的代數內部(英語：Algebraic interior)或徑向核(英語：Radial kernel)是對內部概念的細化。 它是給定集合相對於該點是吸收的的點構成的子集，即集合的徑向點構成的集合。^[1]代數內部的元素通常被稱為內點(英語：Internal point)。 ^[2][3]

正式地，如果${\displaystyle X}$是線性空間，則${\displaystyle A\subseteq X}$的代數內部是

${\displaystyle \operatorname {core} (A):=\left\{x_{0}\in A:\forall x\in X,\exists t_{x}>0,\forall t\in [0,t_{x}],x_{0}+tx\in A\right\}}$。^[4]

一般來說，${\displaystyle \operatorname {core} (A)\neq \operatorname {core} (\operatorname {core} (A))}$，但如果${\displaystyle A}$是一個凸集，則有${\displaystyle \operatorname {core} (A)=\operatorname {core} (\operatorname {core} (A))}$。假設${\displaystyle A}$是凸集，則如果${\displaystyle x_{0}\in \operatorname {core} (A),y\in A,0<\lambda \leq 1}$，就有${\displaystyle \lambda x_{0}+(1-\lambda )y\in \operatorname {core} (A)}$。

例子

如果${\displaystyle A=\{x\in \mathbb {R} ^{2}:x_{2}\geq x_{1}^{2}{\text{ or }}x_{2}\leq 0\}\subseteq \mathbb {R} ^{2}}$，則有${\displaystyle 0\in \operatorname {core} (A)}$，但${\displaystyle 0\not \in \operatorname {int} (A)}$且${\displaystyle 0\not \in \operatorname {core} (\operatorname {core} (A))}$。

性質

令${\displaystyle A,B\subset X}$則：

• ${\displaystyle A}$是吸收的若且唯若${\displaystyle 0\in \operatorname {core} (A)}$ ^[1]
• ${\displaystyle A+\operatorname {core} B\subset \operatorname {core} (A+B)}$^[5]
• ${\displaystyle A+\operatorname {core} B=\operatorname {core} (A+B)}$如果${\displaystyle B=\operatorname {core} B}$^[5]

和內部的關係

令${\displaystyle X}$是拓撲向量空間，${\displaystyle \operatorname {int} }$表示內部算子，且${\displaystyle A\subset X}$，則有：

• ${\displaystyle \operatorname {int} A\subseteq \operatorname {core} A}$
• 如果${\displaystyle A}$是非空凸集且${\displaystyle X}$ 有限維的，則有${\displaystyle \operatorname {int} A=\operatorname {core} A}$^[2]
• 如果${\displaystyle A}$是有非空內部的凸集，則有${\displaystyle \operatorname {int} A=\operatorname {core} A}$^[6]
• 如果${\displaystyle A}$是閉凸集且${\displaystyle X}$是完備度量空間，則有${\displaystyle \operatorname {int} A=\operatorname {core} A}$^[7]

另請參閱

• 內部
• 相對內部（英語：Relative interior）
• 擬相對內部（英語：Quasi-relative interior）
• 有序單位（英語：Order unit）
• 邊界點

參考文獻

1. Jaschke, Stefan; Kuchler, Uwe. Coherent Risk Measures, Valuation Bounds, and (${\displaystyle \mu ,\rho }$)-Portfolio Optimization. 2000.
2. Aliprantis, C.D.; Border, K.C. Infinite Dimensional Analysis: A Hitchhiker's Guide 3rd. Springer. 2007: 199–200. ISBN 978-3-540-32696-0. doi:10.1007/3-540-29587-9.
3. John Cook. Separation of Convex Sets in Linear Topological Spaces (pdf). May 21, 1988 [November 14, 2012]. （原始內容存檔 (PDF)於2019-02-27）.
4. Nikolaĭ Kapitonovich Nikolʹskiĭ. Functional analysis I: linear functional analysis. Springer. 1992. ISBN 978-3-540-50584-6.
5. Zălinescu, C. Convex analysis in general vector spaces. River Edge, NJ: World Scientific Publishing Co., Inc. 2002: 2–3. ISBN 981-238-067-1. MR 1921556.
6. Shmuel Kantorovitz. Introduction to Modern Analysis. Oxford University Press. 2003: 134. ISBN 9780198526568.
7. Bonnans, J. Frederic; Shapiro, Alexander, Perturbation Analysis of Optimization Problems, Springer series in operations research, Springer, Remark 2.73, p. 56, 2000 [2016-12-19], ISBN 9780387987057, （原始內容存檔於2019-05-02）.