自由度 (統計學)

在統計學中，自由度（英語：degree of freedom, df）是指當以樣本的統計量來估計總體的母數時，樣本中獨立或能自由變化的數據的個數，稱為該統計量的自由度^[1]。一般來說，自由度等於獨立變量數減掉其衍生量數^[2]；舉例來說，方差的定義是樣本減平均值（一個由樣本決定的衍生量）的平方之和，因此對N個隨機樣本而言，其自由度為N-1。^[3]

數學上，自由度是一個隨機向量的維度數，也就是一個向量能被完整描述所需的最少單位向量數。舉例來說，從電腦螢幕到廚房的位移能夠用三維向量${\displaystyle a{\widehat {i}}+b{\widehat {j}}+c{\widehat {k}}}$來描述，因此這個位移向量的自由度是3。自由度也通常與這些向量的座標平方和，以及卡方分佈中的母數有所關聯。

範例

• 若存在兩個變數${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$，而 ${\displaystyle a+b=6}$那麼他的自由度為1。因為其實只有${\displaystyle a}$才能真正的自由變化，${\displaystyle b}$會被${\displaystyle a}$選值的不同所限制。
• 估計總體的平均數（${\displaystyle \mu \,}$）時，由於樣本中的${\displaystyle n}$個數都是相互獨立的，任一個尚未抽出的數都不受已抽出任何數值的影響，所以自由度為${\displaystyle n}$。
• 估計總體的方差（${\displaystyle \sigma ^{2}\,}$）時所使用的統計量是樣本的方差${\displaystyle s^{2}}$，而${\displaystyle s^{2}}$必須用到樣本平均數${\displaystyle {\overline {x}}}$來計算。${\displaystyle {\overline {x}}}$在抽樣完成後已確定，所以大小為${\displaystyle n}$的樣本中只要${\displaystyle n-1}$個數確定了，第${\displaystyle n}$個數就只有一個能使樣本符合${\displaystyle {\overline {x}}}$的數值。也就是說，樣本中只有${\displaystyle n-1}$個數可以自由變化，只要確定了這${\displaystyle n-1}$個數，方差也就確定了。這裏，平均數${\displaystyle {\overline {x}}}$就相當於一個限制條件，由於加了這個限制條件，樣本方差${\displaystyle s^{2}}$的自由度為${\displaystyle n-1}$。
• 統計模型的自由度等於可自由取值的自變量的個數。如在迴歸方程中，如果共有${\displaystyle p}$個母數需要估計，則其中包括了${\displaystyle p-1}$個自變量（與截距對應的自變量是常數）。因此該迴歸方程的自由度為${\displaystyle p-1}$。
• 如果用刀剖柚子，在北極點沿經線方向割3刀，得6個角。這6個角可視為3對。6個角的平均角度一定是60度。其中半邊3個角中，只會有2個可以自由選擇，一旦2個數值確定第3個角也會唯一地確定。在總和已知的情況下，切分角的個數比能夠自由切分的個數大1。

參考文獻

1. Degrees of Freedom. "Glossary of Statistical Terms". Animated Software. [2008-08-21]. （原始內容存檔於2018-09-17）.
2. Walker, H. M. Degrees of Freedom. Journal of Educational Psychology. April 1940, 31 (4): 253–269. doi:10.1037/h0054588.
3. Lane, David M. Degrees of Freedom. HyperStat Online. Statistics Solutions. [2008-08-21]. （原始內容存檔於2018-06-28）.