羅季翁·庫茲明

羅季翁·奧西耶維奇·庫茲明（俄語：Родион Осиевич Кузьмин，1891年11月9日—1949年3月24日）是一位俄羅斯數學家，其以在數論和數學分析方面的成就而聞名。 ^[1]他於1928年在博洛尼亞成為國際數學家大會的特邀演講者。 ^[2]

羅季翁·庫茲明
出生	1891年11月21日  維捷布斯克
逝世	1949年3月24日  （57歲） 聖彼得堡
母校	Faculty of Physics and Mathematics of the Saint Petersburg University 聖彼得堡國立大學
職業	數學家、大學教師

成果

• 1928 年，庫茲明解決了^[3]由高斯（見高斯-庫茲明分佈）提出的以下問題：如果x是在 (0, 1) 均勻選取的隨機數，而

${\displaystyle x={\frac {1}{k_{1}+{\frac {1}{k_{2}+\cdots }}}}}$

是它的連分數展開式，找到一個界限

${\displaystyle \Delta _{n}(s)=\mathbb {P} \left\{x_{n}\leq s\right\}-\log _{2}(1+s),}$

使得

${\displaystyle x_{n}={\frac {1}{k_{n+1}+{\frac {1}{k_{n+2}+\cdots }}}}.}$

高斯認為 n 趨向到無窮則 Δ_n 趨於零，但他無法給出一個明確的綁定。庫茲明則證明了

${\displaystyle |\Delta _{n}(s)|\leq Ce^{-\alpha {\sqrt {n}}}~,}$

其中 C, α > 0 是數值常數。 1929 年，保羅·皮埃爾·萊維將其邊界改進為C 0.7ⁿ。

• 1930 年，庫茲明證明^[4]了形式 a^b 的數是超越數，其中a是代數， b 是實二次無理數。特別是，這個結果也意味着格爾豐德-施奈德常數

${\displaystyle 2^{\sqrt {2}}=2.6651441426902251886502972498731\ldots }$

是超越的。請參閱格爾豐德-施奈德定理以了解後續的發展。

• 他還因 庫茲明-Landau 不等式而聞名：如果${\displaystyle f}$是連線可微，導數 ${\displaystyle f'}$是單高的， 且滿足 ${\displaystyle \Vert f'(x)\Vert \geq \lambda >0}$ （這裏的 ${\displaystyle \Vert \cdot \Vert }$ 表示有限區間上的最近整數函數 ) ${\displaystyle I}$ ， 則

${\displaystyle \sum _{n\in I}e^{2\pi if(n)}\ll \lambda ^{-1}.}$

參考文獻

1. Venkov, B. A.; Natanson, I. P. R. O. Kuz'min (1891–1949) (obituary). Uspekhi Matematicheskikh Nauk: 148–155.
2. Kuzmin, R. "Sur un problème de Gauss." In Atti del Congresso Internazionale dei Matematici: Bologna del 3 al 10 de settembre di 1928, vol. 6, pp. 83–90. 1929.
3. Kuzmin, R.O. On a problem of Gauss. Dokl. Akad. Nauk SSSR. 1928: 375–380.
4. Kuzmin, R. O. On a new class of transcendental numbers. Izvestiya Akademii Nauk SSSR (Math.). 1930, 7: 585–597.

外部連結

• 數學譜系計劃中的羅季翁·庫茲明 （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）的資訊。（其中的年代明顯錯誤，J. V. Uspensky 從 1929 年住在美國）。