平方

代數中，一個數的平方是此數與它的本身相乘所得的乘積，一個元素的平方是此元素與它的本身相乘所得的乘積，記作x²。平方也可視為求指數為2的冪的值。若x是正實數，這個乘積相當於一個邊長為x的正方形的面積；如果x為虛數，則這個乘積為負數。如果x為非虛數的複數，則這個乘積也是複數。

${\displaystyle y=x^{2}}$

如果實數y = x²，就說y是x的平方；如果同時x是非負數，那麼x就是y的平方根。如果一個整數 ${\displaystyle n}$ 是某個整數的平方，則稱 ${\displaystyle n}$ 為一個完全平方數或平方數。有理數的平方一定是有理數，無理數的平方可以是有理數，也可以是無理數。

平方和

平方和通常指一些正整數的平方之和，整數的個數可以是有限個，也可以是無限多。 正整數的平方和公式如下：

${\displaystyle 1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}+5^{2}+6^{2}+...+n^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}}$

證明

用數學歸納法證明如下：

${\displaystyle n=1}$時，${\displaystyle 1^{2}={\frac {1\times 2\times 3}{6}}=1}$成立

${\displaystyle n=2}$時，${\displaystyle 1^{2}+2^{2}={\frac {2\times 3\times 5}{6}}=5}$成立

設${\displaystyle n=k}$時成立，即${\displaystyle 1^{2}+2^{2}+3^{2}+....+k^{2}={\frac {k(k+1)(2k+1)}{6}}}$成立

當${\displaystyle n=k+1}$時，

${\displaystyle 1^{2}+2^{2}+3^{2}+....+k^{2}+(k+1)^{2}}$

${\displaystyle ={\frac {k(k+1)(2k+1)}{6}}+(k+1)^{2}}$

${\displaystyle ={\frac {(k+1)(2k^{2}+k)}{6}}+{\frac {6(k+1)^{2}}{6}}}$

${\displaystyle ={\frac {(k+1)[(2k^{2}+k)+6(k+1)]}{6}}}$

${\displaystyle ={\frac {(k+1)(2k^{2}+7k+6))}{6}}}$

${\displaystyle ={\frac {(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}}}$

${\displaystyle ={\frac {(k+1)[(k+1)+1][2(k+1)+1]}{6}}}$

故${\displaystyle n=k+1}$時亦成立，原式得證。

也可以用組合數公式來推導這個公式。

平方和也可以指：${\displaystyle a^{2}+b^{2}=(a+bi)(a-bi)}$

參見

• 立方
• 次方