博蘇克-烏拉姆定理

博蘇克-烏拉姆定理表明，任何一個從n維球面到歐幾里得n維空間的連續函數，都一定把某一對對蹠點映射到同一個點。

n = 2的情形，就是說在地球的表面上，一定存在一對對蹠點，它們的溫度和氣壓相同。這裏假設了溫度和氣壓的變化是連續的。

這個定理首先由烏拉姆猜想。1933年，Karol Borsuk證明了該定理。從博蘇克-烏拉姆定理可以推出布勞威爾不動點定理。

一個關於博蘇克-烏拉姆定理的更強的陳述，是每一個保持對蹠點的映射

${\displaystyle f:\mathbb {S} ^{n}\to \mathbb {S} ^{n}}$

都具有奇次數。

推論

• Rⁿ的任何子集都不與Sⁿ同胚。
• 如果用n + 1個開集來覆蓋球面Sⁿ，那麼其中一定有一個開集含有一對對蹠點（與博蘇克-烏拉姆定理等價）。
• 火腿三明治定理（對於任何Rⁿ內的緊集${\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{n}}$，我們總可以找到一個超平面，把每一個緊集都分成兩個具有相同測度的子集）。

參見

• 布勞威爾不動點定理
• 拓撲組合學

參考文獻

• K. Borsuk, "Drei Sätze über die n-dimensionale euklidische Sphäre", Fund. Math., 20 (1933), 177-190.
• Jiří Matoušek, "Using the Borsuk–Ulam theorem", Springer Verlag, Berlin, 2003. ISBN 3-540-00362-2.
• L. Lyusternik and S. Shnirel'man, "Topological Methods in Variational Problems". Issledowatelskii Institut Matematiki i Mechaniki pri O. M. G. U., Moscow, 1930.
• 從博蘇克-烏拉姆定理推出布勞沃不動點定理
• Allen Hatcher: 代數拓撲（自由下載）（頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）