偽全純曲線

拓撲學與幾何學中，偽全純曲線（或J-全純曲線）是黎曼曲面到殆複流形的光滑映射，並滿足柯西-黎曼方程。偽全純曲線在1985年由米哈伊爾·格羅莫夫提出，自此徹底改變了辛流形研究。特別是，它們導致了格羅莫夫–威滕不變量與弗洛爾同調，並在弦理論中發揮了重要作用。

定義

令X為殆複流形，具有殆復結構J。令C是光滑黎曼曲面（也叫復曲線），具有復結構j。X中的偽全純曲線是映射${\displaystyle f:C\to X}$，滿足柯西-黎曼方程

${\displaystyle {\bar {\partial }}_{j,J}f:={\frac {1}{2}}(df+J\circ df\circ j)=0.}$

由於${\displaystyle J^{2}=-1}$，這條件等價於

${\displaystyle J\circ df=df\circ j,}$

意味着微分${\displaystyle {\rm {d}}f}$是複線性的，即J將每個切空間

${\displaystyle T_{x}f(C)\subseteq T_{x}X}$

映射到自身。出於技術原因，通常最好引入某種不齊次項${\displaystyle \nu }$，並研究滿足微擾柯西-黎曼方程

${\displaystyle {\bar {\partial }}_{j,J}f=\nu .}$

的映射。更具體地說，滿足這方程的偽全純曲線可以叫做${\displaystyle (j,J,\nu )}$-全純曲線。擾動項${\displaystyle \nu }$有時被假定為由哈密頓量生成的（特別是弗洛爾理論中），但一般來說不需要。

據定義，偽全純曲線總是參數化的。在應用中，人們通常真正感興趣的是未參數化的曲線，即X的嵌入（或浸入）雙子流形，因此可通過保相關結構的域重參數化來進行模擬。在格羅莫夫–威滕不變量的情形下，我們只考慮固定虧格g的閉域C，並在C上引入n個標記點（或稱穿刺，puncture）。一旦標記點的歐拉示性數${\displaystyle 2-2g-n}$為負，C就將只有有限多保標記點的全純重參數化。域曲線C是曲線的德利涅-芒福德模空間的一個元素。

與經典柯西-黎曼方程的類比

經典情形是X、C都是簡單復平面。實坐標中

${\displaystyle j=J={\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}},}$

${\displaystyle df={\begin{bmatrix}du/dx&du/dy\\dv/dx&dv/dy\end{bmatrix}},}$

其中${\displaystyle f(x,y)=(u(x,y),v(x,y))}$。將這些矩陣按兩個不同階數相乘後，立即得到方程

${\displaystyle J\circ df=df\circ j}$

等價於經典柯西-黎曼方程

${\displaystyle {\begin{cases}du/dx=dv/dy\\dv/dx=-du/dy.\end{cases}}}$

在辛拓撲中的應用

雖然偽全純曲線可對任何殆複流形定義，但當J與辛形式${\displaystyle \omega }$相互作用時，偽全純曲線尤其有趣。若且唯若殆復結構J滿足，對所有非零切向量v，

${\displaystyle \omega (v,Jv)>0}$

稱J是${\displaystyle \omega }$-馴順（tame）的。馴順性意味着公式

${\displaystyle (v,w)={\frac {1}{2}}\left(\omega (v,Jw)+\omega (w,Jv)\right)}$

在X上定義了黎曼度量。格羅莫夫證明，對給定的${\displaystyle \omega }$，${\displaystyle \omega }$-馴順J的空間非空、且是可收縮的。他用這一理論證明了關於球到圓柱的辛嵌入的非擠壓定理。

格羅莫夫證明，偽全純曲線的特定模空間（滿足附加的特定條件）是緊的，並描述了偽全純曲線在只假定有限能量時退化的方式。（有限能量條件尤其適用於辛流形中有固定同調類的曲線，其中J是${\displaystyle \omega }$-馴順或${\displaystyle \omega }$-相容的）。這一格羅莫夫緊性定理現在利用穩定映射得到了極大推廣，使得格羅莫夫–威滕不變量的定義成為可能，它可以計算辛流形中的偽全純曲線。

偽全純曲線的緊模空間也用於構造弗洛爾同調，安德烈斯·弗洛爾（及後來的學者，在更廣的廣義上）用它來證明弗拉基米爾·阿諾德關於哈密頓向量場定點數的著名猜想。

在物理學中的應用

在II類弦論中，我們考慮弦沿着卡拉比-丘3-流形中的路徑運動時描繪的面。根據量子力學的路徑積分表述，我們希望計算所有此類面的空間的某些積分。這空間是無限維的，因此在數值上很難算出積分。不過，在A-twist下，我們可以推導出這些面由偽全純曲線參數化，於是路徑積分可簡化為偽全純曲線（更確切地說是穩定映射）模空間上的積分，是有限維的。例如，閉IIA型弦論中，這些積分正是格羅莫夫–威滕不變量。

另見

• 全純曲線

參考文獻

• Dusa McDuff and Dietmar Salamon, J-Holomorphic Curves and Symplectic Topology, American Mathematical Society colloquium publications, 2004. ISBN 0-8218-3485-1.
• Mikhail Leonidovich Gromov, Pseudo holomorphic curves in symplectic manifolds. Inventiones Mathematicae vol. 82, 1985, pgs. 307-347.
• Donaldson, Simon K. What Is...a Pseudoholomorphic Curve? (PDF). Notices of the American Mathematical Society. October 2005, 52 (9): 1026–1027 [2008-01-17]. （原始內容存檔 (PDF)於2024-01-12）.