Y-Δ變換或稱為星角變換,是一種把Y形電路轉換成等效的Δ形電路,或把Δ形電路轉換成等效的Y形電路的方法。它可以用來簡化電路的分析。這一變換理論是由亞瑟·肯內利於1899年發表。[1]
Δ形電路和Y形電路
設R1、R2、和R3分別是Y形電路中從N1、N2、N3到中點的阻抗,Ra、Rb、Rc分別是Δ形電路中N1與N3、N1與N2、N2與N3之間的阻抗。希望把Y形電路換成Δ形電路,或把Δ形電路換成Y形電路後,任意兩個端點之間的阻抗仍然與原來的電路相等。
在圖論中,Y-Δ變換表示將一個圖的Y形子圖用等價的Δ形子圖代替。變換後的邊數不變,但頂點數和迴路數會變化。如果這兩個圖可以通過一系列的Y-Δ變換互相變換得到,那麼就可以成這兩個圖Y-Δ等價。例如,佩特森圖就是一個Y-Δ等價類。
要將Δ形負載{
}變換成Y形負載{
},需要比較二者對應節點的阻抗。要計算兩種接法的阻抗,需要將電路中的一個節點斷開。
Δ形電路中N3斷開後,N1與N2間的阻抗為
![{\displaystyle {\begin{aligned}R_{\Delta }(N_{1},N_{2})&=R_{b}\parallel (R_{a}+R_{c})\\[8pt]&={\frac {1}{{\frac {1}{R_{b}}}+{\frac {1}{R_{a}+R_{c}}}}}\\[8pt]&={\frac {R_{b}(R_{a}+R_{c})}{R_{a}+R_{b}+R_{c}}}.\end{aligned}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ac6b58328c311ce9aa57cefcb4076ead0b04bc2)
將{
}之和用
表示以簡化方程:
![{\displaystyle R_{T}=R_{a}+R_{b}+R_{c}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab35d184eaf89e35c80d41e6c5dc97187853a0cb)
得到
![{\displaystyle R_{\Delta }(N_{1},N_{2})={\frac {R_{b}(R_{a}+R_{c})}{R_{T}}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f05ee818a9d706cdc66f3ceeaa9a154cff26e27)
Y形電路中N1與2的對應阻抗為
![{\displaystyle R_{Y}(N_{1},N_{2})=R_{1}+R_{2}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ce127fa7eb21bee2716d3d45fb4537be93c7b6a)
由以上兩式得到:
(1)
同理,對於
與
,也分別有
(2)
(3)
由此,{
}的值可以由以上式子的線性組合(相加或相減)求出。
例如,將式(1)和式(3)相加,然後減去式(2)會得到
![{\displaystyle R_{1}+R_{2}+R_{1}+R_{3}-R_{2}-R_{3}={\frac {R_{b}(R_{a}+R_{c})}{R_{T}}}+{\frac {R_{a}(R_{b}+R_{c})}{R_{T}}}-{\frac {R_{c}(R_{a}+R_{b})}{R_{T}}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f33dd22d7bf91b639ad063d035abc50b8e85fe0a)
![{\displaystyle 2R_{1}={\frac {2R_{b}R_{a}}{R_{T}}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dba453e6227b69826d4047e7d6fb1f59d41adf8a)
於是
![{\displaystyle R_{1}={\frac {R_{b}R_{a}}{R_{T}}}.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0be54c5be32c662de0e8bcf5990adce13a6092e)
其中
求出所有的阻抗值如下:
(4)
(5)
(6)
- William Stevenson,「Elements of Power System Analysis 3rd ed.」,McGraw Hill, New York, 1975, ISBN 0-07-061285-4
A.E. Kennelly, Equivalence of triangles and stars in conducting networks, Electrical World and Engineer, vol. 34, pp. 413-414, 1899.