假定以下材料:
——一個r階廣義嘉當矩陣(generalised Cartan matrix)
r.
———— 一個 2n − r維複向量空間
.
————
的對偶空間
————
中 n 枚相互獨立的元,稱為對偶根(co-root)
————
中n 枚線性相互獨立的元 ,稱為根(root)
- 上述各元滿足
.
卡茨-穆迪代數
由符號
,
(i=1,..,n) 及空間
生成:
以上各元滿足以下關係:
![{\displaystyle [e_{i},f_{i}]=\alpha _{i}.\ }](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22c7d64b544bebb24f799b216fa6de6fde9e6f17)
;其中 
, 其中
, 其中 
;其中 
;其中
出現
次;
;其中
出現
次;
(其中
.)
一個 實(維數可以無限)李代數亦可稱為 Kac–Moody代數,若其 複化 是個 Kac–Moody代數.