霍普菲爾德神經網絡

霍普菲爾德神經網絡(Hopfield neural network)是一種循環神經網絡，由約翰·霍普菲爾德在1982年發明。Hopfield網絡是一種結合存儲系統和二元系統的神經網絡。它保證了向局部極小的收斂，但收斂到錯誤的局部極小值（local minimum），而非全局極小（global minimum）的情況也可能發生。霍普菲爾德網絡也提供了模擬人類記憶的模型。

構造

一個有四個節點的Hopfiled網絡。

霍普菲爾德網絡的單元是二元的（binary），即這些單元只能接受兩個不同的值，並且值取決於輸入的大小是否達到閾值。Hopfield網絡通常接受值為-1或1，也可以是0或者1。輸入是由sigmoid函數處理得到的。 sigmoid函數定義為：

${\displaystyle S(t)={\frac {1}{1+e^{-t}}}}$，

用於將輸入化簡為兩個極值。

每一對霍普菲爾德網絡的單元i和j間都有一對以一定權重（weight）的連接${\displaystyle w_{ij}}$。因此，霍普菲爾德網絡可被描述為一個完整的無向圖${\displaystyle G=<V,f>}$，其中${\displaystyle V}$是人工神經元集合。

霍普菲爾德網絡的連接有以下特徵：

• ${\displaystyle w_{ii}=0,\forall i}$ （沒有神經元和自身相連）
• ${\displaystyle w_{ij}=w_{ji},\forall i,j}$ （連接權重是對稱的）

權重對稱的要求是一個重要特徵，因為它保證了能量方程（稱向函數某一點收斂的過程為勢能轉化為能量）在神經元激活時單調遞減，而不對稱的權重可能導致周期性的遞增或者噪聲。然而，霍普菲爾德網絡也證明噪聲過程會被局限在很小的範圍，並且並不影響網絡的最終性能。

更新

使用下述公式更新霍普菲爾德中節點的值:

${\displaystyle s_{i}\leftarrow \left\{{\begin{array}{ll}+1&{\mbox{if }}\sum _{j}{w_{ji}s_{j}}\geq \theta _{i},\\-1&{\mbox{otherwise.}}\end{array}}\right.}$

公式中：

• ${\displaystyle w_{ji}}$ 是節點j到節點i的權重。
• ${\displaystyle s_{i}}$ 節點i的值（狀態s）.
• ${\displaystyle \theta _{i}}$ 節點i的閾值，常為0.

霍普菲爾德的更新有兩種方式：

• 異步: 每個更新一個節點。此節點可以是隨機選中的，也可是按照預設順序選中的。
• 同步: 同時更新所有節點的狀態。這種更新方式要求系統中具有中央時鐘以便維持同步。這種方式被認為是不太現實的，因為在生物或物理系統中常常沒有中央時鐘（用於保持同步狀態，即各個節點常常是自行其是的。）

參見

• 玻爾茲曼機 – 像一個霍普菲爾德網絡，可採用退火吉布斯抽樣代替梯度下降
• 受限玻爾茲曼機
• 易辛模型
• 赫布理論

參考文獻

• J. J. Hopfield, "Neural networks and physical systems with emergent collective computational abilities", Proceedings of the National Academy of Sciences of the USA, vol. 79 no. 8 pp. 2554–2558, April 1982.

• Hebb, D.O. (1949). Organization of behavior. New York: Wiley

• Hertz, J., Krogh, A., & Palmer, R.G. (1991). Introduction to the theory of neural computation. Redwood City, CA: Addison-Wesley.

• McCullough, W.S., & Pitts, W.H. (1943). A logical calculus of the ideas immanent in nervous activity. Bulletin of Mathematical Biophysics,5, 115-133

• Polyn, S.M., & Kahana, M.J. (2008). Memory search and the neural representation of context. Trends in Cognitive Sciences, 12, 24-30.

• Rizzuto, D.S., & Kahana, M.J. (2001). An autoassociative neural network model of paired-associate learning. Neural Computation, 13, 2075-2092.

• Kruse, Borgelt, Klawonn, Moewes, Russ, Steinbrecher (2011). Computational Intelligence.

外部連結

• Chapter 13 The Hopfield model（頁面存檔備份，存於互聯網檔案館） of Neural Networks - A Systematic Introduction（頁面存檔備份，存於互聯網檔案館） by Raul Rojas (ISBN 978-3-540-60505-8)
• Hopfield Neural Network Applet
• Hopfield Neural Network implementation in Ruby (AI4R)（頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）
• The Travelling Salesman Problem（頁面存檔備份，存於互聯網檔案館） - Hopfield Neural Network JAVA Applet
• scholarpedia.org- Hopfield network（頁面存檔備份，存於互聯網檔案館） - Article on Hopfield Networks by John Hopfield
• Hopfield Network Learning Using Deterministic Latent Variables - Tutorial by Tristan Fletcher
• Neural Lab Graphical Interface - Hopfield Neural Network graphical interface (Python & gtk)