ARMA模型

ARMA模型（英語：Autoregressive moving average model，全稱：自我迴歸滑動平均模型）。是研究時間序列的重要方法，由自迴歸模型（簡稱AR模型）與移動平均模型（簡稱MA模型）為基礎「混合」構成。在市場研究中常用於長期追蹤資料的研究，如：Panel研究中，用於消費行為模式變遷研究；在零售研究中，用於具有季節變動特徵的銷售量、市場規模的預測等。

自我迴歸AR(p)模型

${\displaystyle X_{t}=c+\sum _{i=1}^{p}\varphi _{i}X_{t-i}+\varepsilon _{t}.\,}$

自我迴歸模型描述的是當前值與歷史值之間的關係。

其中：${\displaystyle c}$是常數項；${\displaystyle \varepsilon _{t}}$被假設為平均數等於0，標準差等於${\displaystyle \sigma }$的隨機誤差值；${\displaystyle \varepsilon _{t}}$被假設為對於任何的${\displaystyle t}$都不變。

移動平均MA(q)模型

${\displaystyle X_{t}=\mu +\varepsilon _{t}+\sum _{i=1}^{q}\theta _{i}\varepsilon _{t-i}\,}$

移動平均模型描述的是自我迴歸部分的誤差累計。

其中 μ 是序列的均值，θ₁,..., θ_q 是參數，ε_t , ε_t-1,..., ε_t−q 都是 白噪聲。

ARMA(p,q)模型

ARMA(p,q)模型中包含了p個自我迴歸項和q個移動平均項，ARMA(p,q)模型可以表示為：

${\displaystyle X_{t}=c+\varepsilon _{t}+\sum _{i=1}^{p}\varphi _{i}X_{t-i}+\sum _{j=1}^{q}\theta _{j}\varepsilon _{t-j}\ }$

ARMA滯後算子表示法

有時ARMA模型可以用滯後算子（Lag operator）${\displaystyle L}$ 來表示，${\displaystyle L^{i}X_{t}=X_{t-i}}$。這樣AR(p)模型可以寫成為：

${\displaystyle \varepsilon _{t}=\left(1-\sum _{i=1}^{p}\varphi _{i}L^{i}\right)X_{t}=\varphi (L)X_{t}\,}$

其中${\displaystyle \varphi }$表示多項式

${\displaystyle \varphi (L)=1-\sum _{i=1}^{p}\varphi _{i}L^{i}\,}$

MA(q)模型可以寫成為：

${\displaystyle X_{t}=\left(1+\sum _{i=1}^{q}\theta _{i}L^{i}\right)\varepsilon _{t}=\theta (L)\varepsilon _{t}\,}$

其中θ 表示多項式

${\displaystyle \theta (L)=1+\sum _{i=1}^{q}\theta _{i}L^{i}\,}$

最後，ARMA(p,q)模型可以表示為：

${\displaystyle \left(1-\sum _{i=1}^{p}\varphi _{i}L^{i}\right)X_{t}=\left(1+\sum _{i=1}^{q}\theta _{i}L^{i}\right)\varepsilon _{t}\,}$

或者

${\displaystyle \varphi (L)X_{t}=\theta (L)\varepsilon _{t}.\,}$

若${\displaystyle \varphi (L)=1}$,則ARMA過程退化為MA(q)過程 若${\displaystyle \theta (L)=1}$,則ARMA過程退化為AR(p)過程。

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