龐蒂科夫-牧-中川-坂田矩陣

在粒子物理學中，龐蒂科夫-牧-中川-坂田矩陣（英語：Pontecorvo-Maki-Nakagawa-Sakata Matrix，簡稱PMNS矩陣），又稱牧-中川-坂田矩陣（MNS矩陣）、輕子混合矩陣或微中子混合矩陣，是一個么正矩陣^{[註 1]}，內含自由轉播中與弱相互作用中的輕子間量子態的相異之處，因此是研究微中子振蕩的重要工具。此矩陣最早由牧二郎（日語：牧二郎）、中川昌美（日語：中川昌美）與坂田昌一於1962年提出^[1]，用於解釋布魯諾·龐蒂科夫所預測的微中子振蕩現象^[2][3]。

矩陣

三代輕子的混合矩陣如下：

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\nu _{e}}\\{\nu _{\mu }}\\{\nu _{\tau }}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}U_{e1}&U_{e2}&U_{e3}\\U_{\mu 1}&U_{\mu 2}&U_{\mu 3}\\U_{\tau 1}&U_{\tau 2}&U_{\tau 3}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\nu _{1}\\\nu _{2}\\\nu _{3}\end{bmatrix}}\ }$。

其中左邊的是參與弱相互作用的微中子場，而右邊的是PMNS矩陣，還有一個由微中子場本徵態組成的向量，將微中子質量矩陣對角化後可得這個向量。PMNS矩陣描述某種味 ${\displaystyle \alpha }$ 進入質量本徵態 ${\displaystyle i}$ 的機率。這些機率與 ${\displaystyle |U_{\alpha i}|^{2}}$ 成正比。

這個矩陣有好幾種不同的參數化^[4]，但是由於微中子探測的難度，各參數的測量要比這個矩陣的夸克對應版本（CKM矩陣）要難得多。這個矩陣最常見的參數組為三個混合角（英語：Mixing angle）（即 ${\displaystyle \theta _{12}}$、${\displaystyle \theta _{23}}$ 及 ${\displaystyle \theta _{13}}$）與一個相位${\displaystyle \delta }$。

${\displaystyle {\begin{bmatrix}U_{e1}&U_{e2}&U_{e3}\\U_{\mu 1}&U_{\mu 2}&U_{\mu 3}\\U_{\tau 1}&U_{\tau 2}&U_{\tau 3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \theta _{12}\cos \theta _{13}&\sin \theta _{12}\cos \theta _{13}&\sin \theta _{13}e^{-i\delta }\\-\sin \theta _{12}\cos \theta _{23}-\cos \theta _{12}\sin \theta _{23}\sin \theta _{13}e^{i\delta }&\cos \theta _{12}\cos \theta _{23}-\sin \theta _{12}\sin \theta _{23}\sin \theta _{13}e^{i\delta }&\sin \theta _{23}\cos \theta _{13}\\\sin \theta _{12}\sin \theta _{23}-\cos \theta _{12}\cos \theta _{23}\sin \theta _{13}e^{i\delta }&-\cos \theta _{12}\sin \theta _{23}-\sin \theta _{12}\cos \theta _{23}\sin \theta _{13}e^{i\delta }&\cos \theta _{23}\cos \theta _{13}\end{bmatrix}}}$。

參數數值

截至2021年10月，利用直接與間接測量給出正常質量排序下最佳擬合參數如下：^[5][6]

${\displaystyle {\begin{aligned}\theta _{12}&={33.44^{\circ }}_{-0.74^{\circ }}^{+0.77^{\circ }}\\\theta _{23}&={49.2^{\circ }}_{-1.3^{\circ }}^{+1.0^{\circ }}\\\theta _{13}&={8.57^{\circ }}_{-0.12^{\circ }}^{+0.13^{\circ }}\\\delta _{\textrm {CP}}&={194^{\circ }}_{-25^{\circ }}^{+52^{\circ }}\\\end{aligned}}}$

截至2021年10月，矩陣元素量值的 3 σ 範圍 （99.7% 信心水準）如下：^[7]

${\displaystyle |U|={\begin{bmatrix}~|U_{e1}|~&|U_{e2}|~&|U_{e3}|\\~|U_{\mu 1}|~&|U_{\mu 2}|~&|U_{\mu 3}|\\~|U_{\tau 1}|~&|U_{\tau 2}|~&|U_{\tau 3}|~\end{bmatrix}}=\left[{\begin{array}{rrr}~0.801\,\ldots \,0.845~&0.513\,\ldots \,0.579~&0.143\,\ldots \,0.156\\~0.232\,\ldots \,0.507~&0.459\,\ldots \,0.694~&0.629\,\ldots \,0.779\\~0.260\,\ldots \,0.526~&0.470\,\ldots \,0.702~&0.609\,\ldots \,0.763~\end{array}}\right]}$

另見

• 微中子振蕩
• CKM矩陣

註釋

1. 在翹翹板模型中，PMNS矩陣並不是么正矩陣。

參考資料

1. Z. Maki, M. Nakagawa, and S. Sakata. Remarks on the Unified Model of Elementary Particles. Progress of Theoretical Physics. 1962, 28: 870. Bibcode:1962PThPh..28..870M. doi:10.1143/PTP.28.870.
2. B. Pontecorvo. Mesonium and anti-mesonium. Zh. Eksp. Teor. Fiz. 1957, 33: 549–551. 英語譯本見Sov. Phys. JETP. 1957, 6: 429. 缺少或|title=為空 (幫助)
3. B. Pontecorvo. Neutrino Experiments and the Problem of Conservation of Leptonic Charge. Zh. Eksp. Teor. Fiz. 1967, 53: 1717. 英語譯本見Sov. Phys. JETP. 1968, 26: 984. Bibcode:1968JETP...26..984P. 缺少或|title=為空 (幫助)
4. J.W.F. Valle. Neutrino physics overview. Journal of Physics: Conference Series. 2006, 53: 473. arXiv:hep-ph/0608101 . doi:10.1088/1742-6596/53/1/031.
5. Esteban, Ivan; Gonzalez Garcia, Concha; Maltoni, Michele; Schwetz, Thomas; Albert, Zhou. Parameter ranges. NuFIT.org. Three-neutrino fit NuFIT 5.1. October 2021 [2022-02-19]. （原始內容存檔於2022-08-16）.
6. NuFIT.org. [2022-03-22]. （原始內容存檔於2022-09-24）.
7. Esteban, Ivan; Gonzalez Garcia, Concha; Maltoni, Michele; Schwetz, Thomas; Albert, Zhou. Leptonic mixing matrix. NuFIT.org. Three-neutrino fit NuFIT 5.1. October 2021 [2022-02-19]. （原始內容存檔於2023-07-12）.