默比烏斯反演公式

「莫比烏斯反演」重新導向至此。關於幾何上的變換，請見「莫比烏斯變換」。

定義

假設對於數論函數 ${\displaystyle f(n)}$ 和 ${\displaystyle F(n)}$，有以下關係式：

${\displaystyle F(n)=\sum _{d|n}f(d)}$

則將其默比烏斯反轉公式定義為：

${\displaystyle f(n)=\sum _{d|n}\mu (d)F\left({\frac {n}{d}}\right)}$

這裏 ${\displaystyle \mu }$ 為默比烏斯函數，定義為：

${\displaystyle \mu (n)={\begin{cases}1\\(-1)^{k}\\0\\\end{cases}}}$	若${\displaystyle n=1\,}$
	若${\displaystyle n\,}$無平方數因數，且${\displaystyle n=p_{1}p_{2}......p_{k}\,}$
	若${\displaystyle n\,}$有大於${\displaystyle 1\,}$的平方數因數

一般形式

設${\displaystyle F(x)}$及${\displaystyle G(x)}$為定義在${\displaystyle [1,\infty )}$上的複值函數並且

${\displaystyle G(x)=\sum _{1\leqslant n\leqslant x}F\left({\frac {x}{n}}\right)}$

則

${\displaystyle F(x)=\sum _{1\leqslant n\leqslant x}\mu (n)G\left({\frac {x}{n}}\right)}$

證明

我們有 ${\displaystyle f(n)=\sum _{d\mid n}\left[{\frac {n}{d}}=1\right]f(d)}$，其中${\displaystyle [n=1]}$在${\displaystyle n=1}$時為 1，其餘點為 0。

而根據莫比烏斯函數的性質，${\displaystyle [n=1]=\sum _{d\mid n}\mu (d)}$，代入得到${\displaystyle f(n)=\sum _{d\mid n}\sum _{m\mid {\frac {n}{d}}}\mu (m)f(d)}$。

由於${\displaystyle \sum _{d\mid n}\sum _{m\mid {\frac {n}{d}}}}$的限制條件其實就是${\displaystyle md\mid n}$，故等式可以寫成：${\displaystyle f(n)=\sum _{m\mid n}\mu (m)\sum _{d\mid {\frac {n}{m}}}f(d)=\sum _{m\mid n}\mu (m)F({\frac {n}{m}})}$。

參見

• 默比烏斯函數