高互補歐拉商數

高互補歐拉商數（highly cototient number）k是有以下性質，大於1的正整數：使以下方程式有多個解

x - φ(x) = k

其中φ是歐拉函數，而且若k用其他較小的整數代入時，解的個數都會比剛剛的個數要少。若k=1時，上式會有無窮多組解，因此在定義上，k需是大於1的正整數。前幾個高互補歐拉商數為^[1]：

2, 4, 8, 23, 35, 47, 59, 63, 83, 89, 113, 119, 167, 209, 269, 299, 329, 389, 419, 509, 629, 659, 779, 839, 1049, 1169, 1259, 1469, 1649, 1679, 1889, ... （OEIS數列A100827）

許多高互補歐拉商數是奇數，大於8的高互補歐拉商數都是奇數，大於167的高互補歐拉商數都是29 mod 30的數^{[來源請求]}。

高互補歐拉商數的概念類似高合成數。高合成數有無限多個，而高互補歐拉商數也有無限多個。但數字越大，要進行整數分解也就越難，因此判斷高互補歐拉商數也越難。

例子

${\displaystyle x}$的互補歐拉商數（cototient）定義為${\displaystyle x-\phi (x)}$，也就是小於等於此數的正整數中，和此數至少有一個共同質因數（即不互質）的正整數。例如6的互補歐拉商數是4，因為有4個小於等於6的正整數和6有共同的質因數：2, 3, 4, 6，因此6的互補歐拉商數是4。只有二個整數（6和8）的互補歐拉商數是4。而互補歐拉商數是2和3的整數都不到2個，因此4是高互補歐拉商數。

（OEIS數列A063740）

k（高互補歐拉商數會用粗體表示）	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
x – φ(x) = k解的個數	1	∞	1	1	2	1	1	2	3	2	0	2	3	2	1	2	3	3	1	3	1	3	1	4	4	3	0	4	1	4	3

n	使得${\displaystyle k-\phi (k)=n}$的k	使得${\displaystyle k-\phi (k)=n}$的k的個數 （OEIS數列A063740）
0	1	1
1	2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, ... （所有的質數）	∞
2	4	1
3	9	1
4	6, 8	2
5	25	1
6	10	1
7	15, 49	2
8	12, 14, 16	3
9	21, 27	2
10		0
11	35, 121	2
12	18, 20, 22	3
13	33, 169	2
14	26	1
15	39, 55	2
16	24, 28, 32	3
17	65, 77, 289	3
18	34	1
19	51, 91, 361	3
20	38	1
21	45, 57, 85	3
22	30	1
23	95, 119, 143, 529	4
24	36, 40, 44, 46	4
25	69, 125, 133	3
26		0
27	63, 81, 115, 187	4
28	52	1
29	161, 209, 221, 841	4
30	42, 50, 58	3
31	87, 247, 961	3
32	48, 56, 62, 64	4
33	93, 145, 253	3
34		0
35	75, 155, 203, 299, 323	5
36	54, 68	2
37	217, 1369	2
38	74	1
39	99, 111, 319, 391	4
40	76	1
41	185, 341, 377, 437, 1681	5
42	82	1
43	123, 259, 403, 1849	4
44	60, 86	2
45	117, 129, 205, 493	4
46	66, 70	2
47	215, 287, 407, 527, 551, 2209	6
48	72, 80, 88, 92, 94	5
49	141, 301, 343, 481, 589	5
50		0

質數

高互補歐拉商數中，頭幾個是質數的是^[2]

2, 23, 47, 59, 83, 89, 113, 167, 269, 389, 419, 509, 659, 839, 1049, 1259, 1889, 2099, 2309, 2729, 3359, 3989, 4289, 4409, 5879, 6089, 6719, 9029, 9239, ... （OEIS數列A105440）

相關條目

• 高歐拉商數

參考資料

1. Sloane, N.J.A. (編). Sequence A100827 (Highly cototient numbers). The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation..
2. Sloane, N.J.A. (編). Sequence A105440 (Highly cototient numbers that are prime). The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.