離散型均勻分佈

在統計學及機率理論中，離散型均勻分佈是離散型機率分佈，其中有限個數值擁有相同的機率。離散型均勻分佈的另一種說法為「有限個結果，各結果的機率均相同」。

離散型均勻分佈

機率質量函數 n=5 where n=b-a+1
累積分佈函數
參數	${\displaystyle a\in (...,-2,-1,0,1,2,...)\,}$ ${\displaystyle b\in (...,-2,-1,0,1,2,...)\,}$ ${\displaystyle n=b-a+1\,}$
值域	${\displaystyle k\in \{a,a+1,...,b-1,b\}\,}$
機率質量函數	${\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{n}}&{\mbox{for }}a\leq k\leq b\ \\0&{\mbox{otherwise }}\end{matrix}}}$
累積分佈函數	${\displaystyle {\begin{matrix}0&{\mbox{for }}k<a\\{\frac {k-a+1}{n}}&{\mbox{for }}a\leq k\leq b\\1&{\mbox{for }}k>b\end{matrix}}}$
期望值	${\displaystyle {\frac {a+b}{2}}\,}$
中位數	${\displaystyle {\frac {a+b}{2}}\,}$
眾數	N/A
變異數	${\displaystyle {\frac {n^{2}-1}{12}}\,}$
偏度	${\displaystyle 0\,}$
峰度	${\displaystyle -{\frac {6(n^{2}+1)}{5(n^{2}-1)}}\,}$
熵	${\displaystyle \ln(n)\,}$
動差母函數	${\displaystyle {\frac {e^{at}-e^{(b+1)t}}{n(1-e^{t})}}\,}$
特徵函數	${\displaystyle {\frac {e^{iat}-e^{i(b+1)t}}{n(1-e^{it})}},}$

像均勻的骰子就是離散型均勻分佈的例子，可能的值為1, 2, 3, 4, 5, 6，而每一個數字的機率都是1/6。但若同時丟二個均勻骰子，將其值相加，就不是離散型均勻分佈了，因為各個和的機率不同。 離散型均勻分佈常用來描述結果為數字的分佈，不過離散型均勻分佈也可以描述結果是有限集合的分佈。例如隨機置換（英語：random permutation）就是由已知長度的置換中均勻隨機產生的組合，而均勻生成樹（英語：uniform spanning tree）是由給定的樹中均勻隨機產生的生成樹。

離散型均勻分佈在本質上是非參數（non-parametric）的。不過要表示其值很容易，就用[a,b]之間的所有整數即可，因此a和b就是離散型均勻分佈的主要參數（也常常改為考慮區間[1,n]，只保留一個參數n）。若用這種表示法，針對任意k ∈ [a,b]的累積分佈函數（CDF）為

${\displaystyle F(k;a,b)={\frac {\lfloor k\rfloor -a+1}{b-a+1}}}$

最大值估計

主條目：德國坦克問題

我們將會討論德國坦克問題的例子，將最大值估計應用於二戰期間德國坦克產量的估計。

設k 個觀測值的樣本是從一下整數的均勻分佈中獲得的：${\displaystyle 1,2,\dotsc ,N}$ 而問題就是估計未知的最大 N。 最大值的均勻最小方差無偏 (UMVU) 估計量為下列式子：${\displaystyle {\hat {N}}={\frac {k+1}{k}}m-1=m+{\frac {m}{k}}-1}$其中 m 是樣本最大值，k 是樣本大小，而且無放回抽樣。 這可被看作為最大間距估計的一個非常簡單的例子。

這個式子也有一個變樣版本： ${\displaystyle {\frac {1}{k}}{\frac {(N-k)(N+1)}{(k+2)}}\approx {\frac {N^{2}}{k^{2}}}{\text{ for small samples }}k\ll N}$ 該式中的標準差被大約表示為${\displaystyle {\tfrac {N}{k}}}$，也就是樣本之間差距的平均大小，與${\displaystyle {\tfrac {m}{k}}}$作比較。

樣本最大值是總體最大值的最大似然估計，然而，該方法存在偏差。

若樣本沒有編號但可被識別或標記，則可透過捕獲再捕獲方法以估計族群規模。

隨機排列

主條目：隨機數列

有關均勻分佈隨機排列的固定點數量的機率分佈的說明，請參閱主條目。