雙曲線

在數學中，雙曲線（英語：hyperbola；希臘語：ὑπερβολή，意思是超過、超出）是定義為平面交截直角圓錐面的兩半的一類圓錐曲線。

它還可以定義為與兩個固定的點（稱為焦點）的距離差是常數的點的軌跡。這個固定的距離差是${\displaystyle a}$的兩倍，這裏的${\displaystyle a}$是從雙曲線的中心到雙曲線最近的分支的頂點的距離。${\displaystyle a}$還稱為雙曲線的半貫軸。焦點位於貫軸上，它們的中間點稱為中心。

從代數上說，雙曲線是在笛卡爾平面上由如下方程定義的曲線

${\displaystyle Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0}$

使得${\displaystyle B^{2}>4AC}$，這裏的所有系數都是實數，並存在定義在雙曲線上的點對${\displaystyle (x,y)}$的多於一個的解。

在笛卡爾坐標平面上，兩個互為倒數的變量的圖像是雙曲線。

定義

共軛單位直角雙曲線

上面已經列出：

• 平面切直角圓錐面的兩半的交截線。
• 與兩個固定點（稱為焦點）距離差為常數的點的軌跡。
• 到一個焦點的距離和到一條直線（稱為準線）的距離的比例是大於${\displaystyle 1}$的常數的點的軌跡。這個常數稱為雙曲線的離心率。

雙曲線由分開兩個焦點的兩個分離的稱為臂或分支的曲線構成。隨着到焦點的距離的變大，雙曲線就越逼近稱為漸近線的兩條線。漸近線交叉於雙曲線的中點，並對於東西開口的雙曲線有斜率${\displaystyle \pm {\frac {b}{a}}}$，對於北南開口的雙曲線有斜率${\displaystyle \pm {\frac {a}{b}}}$。

雙曲線有個性質，出自一個焦點的射線反射於雙曲線後看起來像是出自另一個焦點。

雙曲線的一個特殊情況是「等軸」或「直角」雙曲線，它的漸近線交於直角。以坐標軸作為漸近線的直角雙曲線由方程${\displaystyle xy=c}$給出，這裏的${\displaystyle c}$是常數。

如果對雙曲線方程交換${\displaystyle x}$和${\displaystyle y}$，得到它的共軛雙曲線。共軛雙曲線有同樣的漸近線。

笛卡爾坐標

中心位於${\displaystyle (h,k)}$的左右開口的雙曲線：

${\displaystyle {\frac {\left(x-h\right)^{2}}{a^{2}}}-{\frac {\left(y-k\right)^{2}}{b^{2}}}=1}$

中心位於${\displaystyle (h,k)}$的上下開口的雙曲線：

${\displaystyle {\frac {\left(y-k\right)^{2}}{a^{2}}}-{\frac {\left(x-h\right)^{2}}{b^{2}}}=1}$

貫軸貫穿雙曲線的中心並交雙曲線兩臂於它們的頂點。焦點位於雙曲線貫軸的延長線上。共軛軸貫穿雙曲線中點並垂直於貫軸。

在兩個公式中，${\displaystyle a}$是半貫軸（在雙曲線兩臂之間沿着貫軸測量的距離），而${\displaystyle b}$是半共軛軸。

如果用雙曲線的兩個頂點的切線交漸近線形成一個矩形，在切線上的兩邊的長度是${\displaystyle 2b}$，平行於貫軸的兩邊的長度是${\displaystyle 2a}$，注意${\displaystyle b}$可以大於${\displaystyle a}$。

如果計算從雙曲線上任意準線上的點到每個焦點的距離，這兩個距離的差的絕對值總是${\displaystyle 2a}$。

直角雙曲線${\displaystyle y={\tfrac {1}{x}}}$的圖像。

離心率給出自：

${\displaystyle e={\sqrt {1+{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}}$

左右開口的雙曲線的焦點是：${\displaystyle \left(h\pm c,k\right)}$，其中c給出自${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}}$。

上下開口的雙曲線的焦點是：${\displaystyle \left(h,k\pm c\right)}$，其中c給出自${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}}$。

等軸雙曲線

等軸雙曲線的貫軸與共軛軸長相等，即${\displaystyle 2a=2b}$且${\displaystyle e={\sqrt {2}}}$，此時漸近線方程為${\displaystyle y=\pm x}$（無論焦點在${\displaystyle x}$軸還是${\displaystyle y}$軸）。

單位雙曲線屬於等軸雙曲線，且半貫軸和半共軛軸的長均為${\displaystyle 1}$，即${\displaystyle a=b=1}$，滿足方程：

${\displaystyle x^{2}-y^{2}=1}$或${\displaystyle y^{2}-x^{2}=1}$。

對於以直線${\displaystyle x=h}$和直線${\displaystyle y=k}$為漸近線的直角雙曲線：

${\displaystyle (x-h)(y-k)=c}$

這種雙曲線最簡單的例子是：

${\displaystyle y={\frac {m}{x}}}$

共軛雙曲線

當雙曲線${\displaystyle S'}$的貫軸是雙曲線${\displaystyle S}$的共軛軸，且雙曲線${\displaystyle S'}$的共軛軸是雙曲線${\displaystyle S}$的貫軸時，稱雙曲線${\displaystyle S'}$與雙曲線${\displaystyle S}$為共軛雙曲線。若${\displaystyle S}$的方程為

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1,}$

則${\displaystyle S'}$的方程為

${\displaystyle {\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {x^{2}}{a^{2}}}=1.}$

其特點為：

1. 共漸近線，與漸近線平行的直線和雙曲線有且只有一個交點。
2. 焦距相等。
3. 兩雙曲線的離心率平方後的倒數相加等於${\displaystyle 1}$。

極坐標

左右開口的雙曲線：

${\displaystyle r^{2}=a^{2}\sec {2}\theta }$

上下開口的雙曲線：

${\displaystyle r^{2}=-a^{2}\sec {2}\theta }$

上右下左開口的雙曲線：

${\displaystyle r^{2}=a^{2}\csc {2}\theta }$

上左下右開口的雙曲線：

${\displaystyle r^{2}=-a^{2}\csc {2}\theta }$

在所有公式中，中心在極點，而${\displaystyle a}$是半貫軸和半共軛軸。

雙曲線的參數方程

如同正弦和餘弦函數給出橢圓的參數方程，雙曲函數給出雙曲線的參數方程。 左右開口的雙曲線：

${\displaystyle {\begin{cases}x=a\sec {t}+h\\y=b\tan {t}+k\\\end{cases}}}$

或

${\displaystyle {\begin{cases}x=a\cosh {t}+h\\y=b\sinh {t}+k\\\end{cases}}}$

上下開口的雙曲線：

${\displaystyle {\begin{cases}x=b\tan {t}+h\\y=a\sec {t}+k\\\end{cases}}}$

或

${\displaystyle {\begin{cases}x=b\sinh {t}+h\\y=a\cosh {t}+k\\\end{cases}}}$

在所有公式中，${\displaystyle (h,k)}$是雙曲線的中點，${\displaystyle a}$是半貫軸而${\displaystyle b}$是半共軛軸。

雙曲線的標準方程

焦點在${\displaystyle x}$軸：${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$

焦點在${\displaystyle y}$軸：${\displaystyle {\frac {y^{2}}{a^{2}}}-{\frac {x^{2}}{b^{2}}}=1}$

雙曲線的漸近線方程

焦線平行於${\displaystyle x}$軸：${\displaystyle y=\pm {\frac {b}{a}}x}$

焦線平行於${\displaystyle y}$軸：${\displaystyle y=\pm {\frac {a}{b}}x}$

圓錐曲線方程

${\displaystyle \rho ={\frac {ep}{1+e\cos \theta }}}$

當${\displaystyle e>1}$時，表示雙曲線。其中${\displaystyle p}$為焦點到準線距離，${\displaystyle \theta }$為弦與${\displaystyle x}$軸夾角。

參考文獻

外部連結

• Unit hyperbola. PlanetMath.
• Conic section. PlanetMath.
• Conjugate hyperbola. PlanetMath.^{[失效連結]}
• Mathworld - Hyperbola（頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）

參見

• 圓錐曲線
• 雙曲函數