Loading AI tools
来自维基百科,自由的百科全书
阿貝爾定理是冪級數的一個重要結果。
設為一冪級數,其收斂半徑為R。若對收斂圓(模長為 R 的複數的集合)上的某個複數,級數收斂,則有: 。
若收斂,則結果顯然成立,無須引用這個定理。
設級數收斂,下面證明:
令,則冪級數 的收斂半徑為1,並且只需證明
令,則可化歸到,於是以下只需要考慮 的情況。
設,那麼。由冪級數性質可知 的收斂半徑也是1。於是
對於任意的,固定 使得
再固定使得
於是對,
這就證明了
於是阿貝爾定理得證。
從證明中可以看出,對於一個固定的正數,設區域:
那麼只要 在趨近於1,就有阿貝爾定理成立。
阿貝爾定理的一個有用應用是計算已知收斂級數。方法是通過在級數每項後加上項,將問題轉換為冪級數求和,最後再計算 x 趨於 1 時冪級數的極限。由阿貝爾定理可知,這個極限就是原級數的和。
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.