配叢

在數學中，帶有結構群 G（拓撲群）的纖維叢理論允許產生一個配叢（associated bundle）的操作，將叢的典型纖維由 F₁ 變成 F₂，兩者都是具有群 G 作用的拓撲空間。對具有結構群 G 的纖維叢 F，纖維在兩個局部坐標系 U_α 與 U_β 交集上的轉移函數（即餘鍵）由一個 U_α∩U_β 上 G-值函數 g_αβ 給出。我們可以構造一個纖維叢 F′ 有同樣的轉移函數，但可能具有不同的纖維。

一個例子

一個簡單的例子來自莫比烏斯帶，這裏 G 是 2 階循環群 ${\displaystyle \mathbb {Z} /2}$。我們可任取 F 為實數線 ${\displaystyle \mathbb {R} }$、區間 ${\displaystyle [-1,\ 1]}$、去掉 0 的實數線或兩個點的集合 ${\displaystyle \{-1,\ 1\}}$。直覺看來 G 在它們上的作用（在每種情形，非單位元素作用為 ${\displaystyle x\ \rightarrow \ -x}$）是可比較的。可以更形式地說，把兩個矩形 ${\displaystyle [-1,\ 1]\times I}$ 與 ${\displaystyle [-1,\ 1]\times J}$ 黏合在一起：我們其實需要的是將一端的 ${\displaystyle [-1,\ 1]\times I}$ 直接與自己等同，而在另一端扭轉後等同。這個數據可用一個取值於 G 的補丁函數記下。配叢構造恰是觀察到這個數據對 ${\displaystyle \{-1,\ 1\}}$ 與對 ${\displaystyle [-1,\ 1]}$ 是一樣的。

構造

一般地只需解釋由一個具有纖維 F 作用的叢，G 作用在 F 上，變為相配的主叢（即以 G 為纖維的叢，考慮為作用在自身的平移）。然後，我們可由 F₁ 經過主叢變為 F₂。由一個開覆蓋數據表述的細節由下降的一種情形給出。

這一節是這樣組織的：我們首先引入從一個給定的纖維叢，產生一個具有制定的纖維的配叢的一般程序。然後是當制定的纖維是關於這個群在自身上左作用的一個主齊性空間特例，得到了配主叢。如果另外，在主叢的纖維上給出了一個右作用，我們敘述如何利用纖維積構造任何配叢 ^[1]。

一般配叢

設 π : E → X 是拓撲空間 X 上一個纖維叢，帶有結構群 G 及典型纖維 F。由定義，有 G 在纖維 F 上一個左作用（作為轉換群）。此外假設這個作用是有效的^[2]。存在 E 的一個由 X 的一個開覆蓋 U_i，以及一族纖維映射

φ_i : π^-1(U_i) → U_i × F

組成的局部平凡化，使得轉移映射由 G 的元素給出。更確切地，存在連續函數 g_ij : (U_i ∩ U_j) → G 使得

ψ_ij(u,f) := φ_i o φ_j^-1(u,f) = (u,g_ij(u)f) 對每個 (u,f) ∈ (U_i ∩ U_j) × F。

現在設 F′ 是一個制定的拓撲空間，裝備有 G 的一個連續左作用。則相配於 E、具有纖維 F′ 的叢是一個叢 E′ 具有從屬於覆蓋 U_i 其轉移函數為：

ψ′_ij(u,f′) = (u, g_ij(u) f′)，對 (u,f′ ) ∈(U_i ∩ U_j) × F′

這裏 G-值函數 g_ij(u) 與由原先的叢 E 的局部平凡化得到的相同。

這個定義顯然遵守轉移函數的餘鍵條件，因為在每一種情形它們由同樣 G-值函數系統給出（使用另一個局部平凡化，如果有必要使用一般的加細過程，則 g_ij 通過相同的上邊緣轉換）。從而，由纖維叢構造定理（英語：fiber bundle construction theorem）（fiber bundle construction theorem），這樣便產生了所要求的具有纖維 F′ 的纖維叢 E′ 。

主叢配於纖維叢

和前面一樣，假設 E 是一個具有結構群 G 的纖維叢。當 G-左自由且遞移作用於 F′ 的特例時，所以 F′ 是 G 在自身上左作用的一個主齊性空間，則相配的叢 E′ 稱為相配於纖維叢 E 的主 G-叢。如果此外新纖維 F′ 等同於 G（從而 F′ 不僅有左作用也繼承了 G 的一個右作用），則 G 在 F′ 上的右作用誘導了 G 在 E′ 上的右作用。通過選取等同化，E′ 成為通常意義的主叢。注意，儘管沒有典範的方式選取 G 的一個主齊性空間上的右作用，任何這樣的作用將得出相同的具有結構群 G 的承載纖維叢（因為這是由 G 的左作用得到），而且作為 G-空間在存在一個整體定義的 G-值函數聯繫兩者的意義下同構。

以這樣方式，裝備一個右作用的主 G-叢通常視為確定具有結構群 G 的纖維叢的數據之一部分，因為對纖維叢我們可以由配叢構造法來建構主叢。在下一節中，我們經相反的道路利用一個纖維積得到任何纖維叢。

纖維叢配於主叢

設 π : P → X 是一個主 G-叢，令 ρ : G → Homeo(F) 是 G 在空間 F上一個連續左作用（在連續範疇中，我們需有光滑流形上一個光滑作用）。不失一般性，我們取作用是有效的（ker(ρ) = 1）。

G 在 P × F 上定義 G 的一個右作用為

${\displaystyle (p,f)\cdot g=(p\cdot g,\rho (g^{-1})f).}$

然後我們將這個作用等化得到空間 E = P ×_ρ F = (P × F) /G。將 (p,f) 的等價類記為 [p,f]。注意到

${\displaystyle [p\cdot g,f]=[p,\rho (g)f]}$，對所有 ${\displaystyle g\in G.}$

由 π_ρ([p,f]) = π(p)，定義投影映射 π_ρ : E → X。注意這是良定義的。

那麼 π_ρ : E → X 是一個纖維叢，具有纖維 F 與結構群 G。轉移函數由 ρ(t_ij) 給出，這裏 t_ij 是主叢 P 的轉移函數。

結構群的約化

更多資訊：結構群的約化

配叢的一個相伴的概念是一個 G-叢 B 的結構群的約化。我們問是否存在一個 H-叢 C，使得相配的 G-叢是 B（在同構的意義下）。更具體地，這是問 B 的轉移數據能否一致的取值於 H 中。換句話說，我們要求確認相配叢映射的像（這其實是一個函子）。

約化的例子

向量叢的例子包括：引入一個度量導致結構群由一個一般線性群約化為正交群 O(n)；一個實叢的複結構的存在性導致結構群由實一般線性群 GL(2n,R) 約化為複線性群 GL(n,C)。

另一個重要的情形實尋找一個秩 n 向量叢 V 的作為秩 k 與秩 n-k 子叢的惠特尼和（英語：Whitney sum）（Whitney sum），這將導致結構群由 GL(n,R) 約化為 GL(k,R) × GL(n-k,R).

我們也能將葉狀結構的條件表述為將切線束的結構群約化為分塊矩陣子群——但這裏約化只是必要條件，還有一個可積性條件使得弗比尼斯定理可以使用。

另見

• 旋量叢

參考文獻

1. 所有這些構造都屬於埃雷斯曼 Ehresmann (1941-3)；由 Steenrod (1951) p. 36 給出。
2. 有效性是對纖維叢的通常假設，參見 Steenrod (1951)。特別地，這個條件足夠保證相配於 E 的主叢的存在性與惟一性。

• Steenrod, Norman. Topology of Fibre Bundles. Princeton University Press. 1951. ISBN 0-691-00548-6.