達西–威斯巴哈方程式

達西–威斯巴哈方程式（英語：Darcy–Weisbach equation）是流體力學中的唯象方程式，得名自物理學家亨利·達西和尤利烏斯·威斯巴哈（英語：Julius Weisbach），此方程式描述固定長度管路內因摩擦力產生的揚程損失（或稱為壓強損失）和管路中的平均流速的關係。

達西–威斯巴哈方程式中包括一個無因次的摩擦因子，名為達西–威斯巴哈摩擦因子或達西摩擦因子，此摩擦因子是范甯摩擦系數的四倍^[1]。

壓力損失方程

在均勻直徑D的圓管，流體完全填滿圓管，因為粘滯效應造成的壓力損失Δp和其圓管長度L成正比，可以用達西–威斯巴哈方程式來描述^[2]：

${\displaystyle {\frac {\Delta p}{L}}=f_{\mathrm {D} }\cdot {\frac {\rho }{2}}\cdot {\frac {{\langle v\rangle }^{2}}{D_{H}}},}$

其中單位長度的壓力損失Δp/L（SI制單位：Pa/m）是以下參數的函數：

${\displaystyle \rho }$，流體密度（kg/m³）

${\displaystyle D_{H}}$，管子的水力直徑（若是圓管，水力直徑等於D，否則D_H = 4A/P，A是管子的浸潤橫截面積，P)是管子的浸潤周長，m）

${\displaystyle \langle v\rangle }$，平均流速，可以表示為單位截面浸潤面積下的體積流率 Q（m/s）

${\displaystyle f_{\mathrm {D} }}$，是達西摩擦因子（也稱是flow coefficient λ^[3][4]），可以在穆迪圖中找到，此因子並非范寧摩擦因子f。

針對直流為${\displaystyle D_{c}}$圓管下的層流，摩擦因子和雷諾數成反比（f_D = 64/Re），此時的因子可以用容易量測或是已發表的物理量描述。將上式代入達西–威斯巴哈方程式，可將方程式改寫為

${\displaystyle {\frac {\Delta p}{L}}={\frac {128}{\pi }}\cdot {\frac {\mu Q}{D_{c}^{4}}},}$

其中

μ是流體的黏度（Pa·s = N·s/m² = kg/(m·s)）

Q是體積流率，此處用體積流率代替平均流速，因為Q = π/4D_c²<v>（m³/s）。

層流時的公式和泊肅葉定律等效，可以由納維-斯托克斯方程推導。

揚程損失公式

揚程損失 Δh（或h_f）表示因為摩擦力產生的壓力損失，以工作流體的液柱高度表示，因此壓力損失為

${\displaystyle \Delta p=\rho g\,\Delta h,}$

其中

Δh是特定長度，此長度管壁摩擦產生的揚程損失（SI制單位：m）

g是重力加速度（m/s²）。

可以將損程表示為單位管長下的量，會是無因次量：

${\displaystyle S={\frac {\Delta h}{L}}={\frac {1}{\rho g}}\cdot {\frac {\Delta p}{L}},}$

其中L是管長（m）。

因此達西–威斯巴哈方程式也可以用揚程損失來表示^[5]：

${\displaystyle S=f_{\text{D}}\cdot {\frac {1}{2g}}\cdot {\frac {{\langle v\rangle }^{2}}{D}}.}$

以體積流率表示

平均流體速度<v>和體積流率Q的關係是

${\displaystyle Q=A\cdot \langle v\rangle ,}$

其中

Q 是體積流率（m³/s）

A 是濕潤截面積（m²）

針對截面完全被流體填滿，直徑為${\displaystyle D_{c}}$的圓管，

${\displaystyle Q={\frac {\pi }{4}}D_{c}^{2}\langle v\rangle .}$

因此以Q表示的達西–威斯巴哈方程式為

${\displaystyle S=f_{\text{D}}\cdot {\frac {8}{\pi ^{2}g}}\cdot {\frac {Q^{2}}{D_{c}^{5}}}.}$

達西摩擦因子

參見：達西摩擦因子公式（英語：Darcy friction factor formulae）

流體流經一定管徑的直管時，由於流體內摩擦力而產生的阻力，阻力的大小與路程長度成正比。沿程阻力（直管阻力）損失的計算式中 λ——摩擦係數，與雷諾數Re和管壁粗糙度ε有關，可實驗測定，也可計算得出。

層流時：

λ=64/Re

對於紊流流動，工程上通過以下兩種途徑確定：一種是以紊流的半經驗理論為基礎，結合實驗結果，整理成阻力係數的半經驗公式，比如穆迪圖；另一種是直接根據實驗結果，綜合成阻力係數的經驗公式。前者具有更為普遍的意義。

相關條目

• 泊肅葉定律
• 水管
• 范甯摩擦系數

參考資料

1. Manning, Francis S.; Thompson, Richard E., Oilfield Processing of Petroleum. Vol. 1: Natural Gas, PennWell Books, 1991, ISBN 0-87814-343-2, 420 pages. See page 293.
2. Howell, Glen. 3.9.2. Aerospace Fluid Component Designers' Handbook I. Redondo Beach CA: TRW Systems Group. 1970-02-01. p. 87, equation 3.9.2.1e. （原始內容存檔於October 20, 2020） –透過Defense Technical Information Center.
3. Rouse, H. Elementary Mechanics of Fluids. John Wiley & Sons. 1946.
4. Incopera, Frank P.; Dewitt, David P. Fundamentals of Heat and Mass Transfer 5th. John Wiley & Sons. 2002: 470 paragraph 3.
5. Crowe, Clayton T.; Elger, Donald F.; Robertson, John A. Engineering Fluid Mechanics 8th. John Wiley & Sons. 2005. p. 379; Eq. 10:23, 10:24, paragraph 4.

   ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {f_{\mathrm {D} }}}}=2\log \left(\mathrm {Re} {\sqrt {f_{\mathrm {D} }}}\right)-0.8\quad {\text{for }}\mathrm {Re} >3000.}$