輔助統計量

在統計學中， 輔助統計量是任何其分佈不取決於模型參數的統計量。 ^[1]

這一概念是羅納德·艾爾默·費希爾提出的。

定義

設${\displaystyle P_{\theta }}$是一概率模型，其中${\displaystyle \theta }$是參數。若對於來自樣本的數據${\displaystyle \mathbf {Y} }$，統計量${\displaystyle T(\mathbf {Y} )}$的分佈不依賴於${\displaystyle \theta }$，則稱${\displaystyle T(\mathbf {Y} )}$是關於${\displaystyle \theta }$的輔助統計量。這即是說，對於任何博雷爾集${\displaystyle A}$，有${\displaystyle P_{\theta }(T(\mathbf {Y} )\in A)=\mu (A)}$，其中${\displaystyle \mu (\cdot )}$是不依賴於${\displaystyle \theta }$的概率測度。

例子

常數

很明顯，常數是最簡單的輔助統計量。

均值未知的正態分佈的樣本方差

對於正態分佈模型${\displaystyle \{N(\mu ,\sigma ^{2})|\mu \in \mathbb {R} \}}$，其中方差${\displaystyle \sigma ^{2}}$已知，可以證明（在${\displaystyle n>1}$時）樣本方差${\displaystyle {\widehat {\sigma }}^{2}={\frac {\sum \left(X_{i}-{\bar {X}}\right)^{2}}{n-1}}}$是${\displaystyle \mu }$的輔助統計量。實際上，樣本方差的分佈為比例卡方分佈${\displaystyle \sigma ^{2}\cdot \chi _{n-1}^{2}}$，不依賴於${\displaystyle \mu }$。

相關頁面

• 巴蘇定理

參考文獻

1. Casella, George; Berger, Roger L. Statistical Inference. Duxbury Thomson Learning. 2002: 660. ISBN 9780495391876.