倒數

倒（dào）數（英語：reciprocal）又稱乘法反元素（multiplicative inverse）、乘法逆元素^[1]，在數學中，是與其原數相乘為1的數；即某數${\displaystyle x}$的倒數，是一個與${\displaystyle x}$相乘的積為1的數，記為${\displaystyle {\tfrac {1}{x}}}$或${\displaystyle x^{-1}}$。

此條目頁的主題是數學上的倒數。關於時間上的倒數，請見「倒數計時」。

關於鄧紫棋的歌曲，請見「倒數 (鄧紫棋歌曲)」。

提示：此條目頁的主題不是導數。

倒數函數：${\displaystyle y=1/x}$。對除了${\displaystyle \ 0\ }$之外的每一個${\displaystyle \ x\ }$值，${\displaystyle \ y\ }$即為其倒數。其圖像為直角雙曲線。

在抽象代數中，倒數所對應的抽象化概念是乘法群的某個元素的「乘法逆」，也就是相對於群中「乘法」運算的反元素^{[註 1]}。

漢語中，名詞倒數一般用來表示數字的乘法逆，一般在各種數體如：有理數、實數、複數，以及模n的同餘類所構成的乘法群中使用。在複數域（實數域）中，每個除了0以外的複數（實數）都存在倒數：只要用某個數自身除1（也就是說用1除以某個數），即可得到它的倒數。用數學記號表示的話：

一個非零的複數（實數）${\displaystyle a}$的倒數定義為使得${\displaystyle a\times b=b\times a=1}$成立的複數（實數）${\displaystyle b}$，記作${\displaystyle b={\frac {1}{a}}=a^{-1}}$

例如，${\displaystyle {\frac {3}{8}}}$的倒數是${\displaystyle {\frac {8}{3}}}$，因為${\displaystyle {\frac {3}{8}}\times {\frac {8}{3}}=1}$^[2]

每個複數（實數）只有一個倒數。一般來說，並不是對所有的代數結構中的乘法運算，每個元素都存在其乘法逆，如對矩陣乘法來說，秩小於階數的矩陣就沒有乘法逆，或者在環${\displaystyle Z_{39}}$中，元素3和18也沒有乘法逆。一個環中的一個元素有乘法逆當且僅當它是可逆元素，而它的乘法逆是唯一的當且僅當它不是一個零因子，或者說當它是一個正則元。每個非零元素都有乘法逆的環稱為除環。每個非零元素都至多有一個乘法逆的環稱為無零因子環。

負倒數

乘積為-1的兩個實數互為負倒數，實數x的負倒數記為${\displaystyle -{\frac {1}{x}}}$或${\displaystyle -x^{-1}}$。一個實數的倒數和其負倒數是相反數，而0沒有倒數或負倒數。

參考資料

1. https://terms.naer.edu.tw/detail/305e4f655f8036f3f6765b43f1be1237/?seq=2
2. 分数除法. 义务教育教科书 数学 六年级上册. 北京: 人民教育出版社. 2013.

參見

• 數學主題

• 乘法
• 除法
• 雙曲線

註釋

1. 此術語僅當相應群中的運算為「乘法」才使用；若群中的運算為「加法」，則此概念稱為「加法逆」。乘法逆的具體定義可以參見群的反元素概念。