蒙日圓

法國數學家加斯帕爾·蒙日發現：與橢圓${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$相切的兩條垂直切線的交點的軌跡方程是${\displaystyle x^{2}+y^{2}=a^{2}+b^{2}}$。這一結論被稱為蒙日圓。

證明

設${\displaystyle F_{1},F_{2}}$分別為橢圓的左右焦點，焦距為${\displaystyle c}$。設點${\displaystyle M,N}$分別為點${\displaystyle F_{1}}$關於${\displaystyle PA}$，${\displaystyle F_{2}}$關於${\displaystyle PB}$的對稱點。由橢圓的光學性質^[a]知${\displaystyle F_{2}}$，${\displaystyle A}$，${\displaystyle M}$及${\displaystyle F_{1}}$，${\displaystyle B}$，${\displaystyle N}$分別三點共線，由橢圓定義有${\displaystyle MF_{2}=NF_{1}=2a}$。設${\displaystyle F_{1}M}$交直線${\displaystyle PA}$於點${\displaystyle Q}$，${\displaystyle F_{2}N}$交直線${\displaystyle PB}$於點${\displaystyle S}$，分別延長${\displaystyle MF_{1}}$，${\displaystyle NF_{2}}$交於點${\displaystyle R}$，則${\displaystyle OQ={\frac {1}{2}}MF_{2}={\frac {1}{2}}NF_{1}=OS=a}$，${\displaystyle OR={\frac {1}{2}}F_{1}F_{2}=c}$。在矩形${\displaystyle PQRS}$中，由平面幾何知識易知${\displaystyle OP^{2}+OR^{2}=OQ^{2}+OS^{2}}$，於是${\displaystyle OP^{2}=OQ^{2}+OS^{2}-OR^{2}=a^{2}+b^{2}}$。

在雙曲線中的結論

與雙曲線${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1(a>b>0)}$相切的兩條垂直切線的交點的軌跡方程是${\displaystyle x^{2}+y^{2}=a^{2}-b^{2}}$。

在拋物線中的結論

與拋物線${\displaystyle y^{2}=2px(p>0)}$相切的兩條垂直切線的交點的軌跡方程是${\displaystyle x=-{\frac {p}{2}}}$(可以看成是半徑無窮大的圓)。

註釋

1. 經過橢圓上一點的法線，平分這一點的兩條焦點半徑的夾角。