薩哈電離方程式

薩哈電離方程式（Saha ionization equation），又稱為薩哈-朗繆耳方程式（Saha-Langmuir equation），用於描述原子的離子化狀態與溫度和壓力之間的關係的表達式，由印度物理學家梅格納德·薩哈（1920年）和歐文·朗繆耳（1923年）發現。這個方程式的一個最重要的應用，是解釋恆星的光譜分類。該方程式是結合量子力學和統計力學的想法的結果。

推導

對於足夠高的溫度下的氣體，原子之間的碰撞將使某些原子電離。通常束縛於原子的一個或更多個電子將從原子射出來，形成一團電子氣體，與電離的原子和中性原子的氣體共存。這個狀態稱為等離子體。薩哈方程式把這個等離子體的電離程度用溫度、密度和原子的電離能的函數來描述。該方程式只對德拜長度較大的等離子體成立。這就是說，離子和電子對其它離子和電子的庫侖電荷的屏蔽是可以忽略的。因此，隨後的電離勢的下降，以及配分函數的「截止」也是可以忽略的。

對於由一種原子所組成的氣體，薩哈方程式為：

${\displaystyle {\frac {n_{i+1}n_{e}}{n_{i}}}={\frac {2}{\Lambda ^{3}}}{\frac {g_{i+1}}{g_{i}}}\exp \left[-{\frac {(\epsilon _{i+1}-\epsilon _{i})}{k_{B}T}}\right]}$

其中：

• ${\displaystyle n_{i}\,}$是第i個電離狀態中的原子密度，也就是說，原子失去了i個電子；
• ${\displaystyle g_{i}\,}$是i-離子的狀態的簡併度；
• ${\displaystyle \epsilon _{i}\,}$是中性原子失去i個電子，形成一個i級離子所需要的能量；
• ${\displaystyle n_{e}\,}$是電子密度；
• ${\displaystyle \Lambda \,}$是電子的熱德布羅意波長；

${\displaystyle \Lambda \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\sqrt {\frac {h^{2}}{2\pi m_{e}k_{B}T}}}}$

• ${\displaystyle m_{e}\,}$是電子質量；
• ${\displaystyle T\,}$是氣體的溫度；
• ${\displaystyle k_{B}\,}$是波茲曼常數；
• ${\displaystyle h\,}$是普朗克常數。

在只有一級電離是重要的情況下，我們有${\displaystyle n_{1}=n_{e}}$，並定義總密度n 為${\displaystyle n=n_{0}+n_{1}}$，於是薩哈方程式簡化為：

${\displaystyle {\frac {n_{e}^{2}}{n-n_{e}}}={\frac {2}{\Lambda ^{3}}}{\frac {g_{1}}{g_{0}}}\exp \left[{\frac {-\epsilon }{k_{B}T}}\right]}$

其中${\displaystyle \epsilon }$是電離能。

粒子密度

薩哈方程式對於決定兩個不同的電離級的粒子密度之比是很有用的。為了這個目的，它最有用的形式為：

${\displaystyle {\frac {Z_{i}}{N_{i}}}={\frac {Z_{i+1}Z_{e}}{N_{i+1}N_{e}}}}$,

其中Z表示配分函數。薩哈方程式可以視為化學勢的平衡條件的一個重述：

${\displaystyle \mu _{i}=\mu _{i+1}+\mu _{e}\,}$

這個方程式僅僅說明一個電離狀態為i的原子的電勢，與一個電子和一個電離狀態為i+1的原子的電勢是相等的；因此系統處於平衡，不會出現淨電離變化。

參考文獻

• 來自猶他大學物理學系的一個詳細的推導 （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）
• 來自馬里蘭大學天文學系的講稿
• Saha, Megh Nad; On a Physical Theory of Stellar Spectra （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）, Proceedings of the Royal Society of London, Series A, Volume 99, Issue 697 (May 1921), pp. 135–153
• Langmuir, Irving; and Kingdon, Kenneth H.; The Removal of Thorium from the Surface of a Thoriated Tungsten Filament by Positive Ion Bombardment （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）, Physical Review, Vol. 22, No. 2 (August 1923), pp. 148–160