結構常數

群論中的結構常數是定義在李群上的一組常數。它們決定了該李群的李代數的元素之間的李括號（對易關係）。反過來，給定一組滿足某些性質的常數，就一定存在以它們為結構常數的局部李群。

定義

給定${\displaystyle r}$維李群${\displaystyle G}$上的${\displaystyle r}$個線性無關的右不變向量場${\displaystyle X_{i}(1\leq i\leq r)}$，它們構成了${\displaystyle G}$的李代數的一組基底。設

${\displaystyle [X_{i},X_{j}]=C_{ij}^{k}X_{k}}$，

其中${\displaystyle [,]}$表示李括號。可以證明${\displaystyle C_{ij}^{k}}$是一組常數，它們稱為李群${\displaystyle G}$的結構常數。

性質

李群${\displaystyle G}$的結構常數滿足反對稱性

${\displaystyle C_{ij}^{k}=-C_{ji}^{k}}$，

以及Jacobi恆等式

${\displaystyle C_{ij}^{k}C_{lm}^{i}+C_{il}^{k}C_{mj}^{i}+C_{im}^{k}C_{jl}^{i}=0}$。

反過來，如果有一組常數${\displaystyle C_{ij}^{k},1\leq i,j,k\leq r}$滿足上述兩條性質，那麼一定存在一個局部李群以這組常數為結構常數。

參考資料

外部連結