線叢

數學中，線叢（line bundle）表達了空間中在點之間變化的直線的概念。例如，平面中的曲線在每一點都有一條切線，這就確定了一條變化的直線：切叢是組織它們的一種方式。代數拓撲和微分拓撲中，線叢更正式的定義是秩為1的向量叢。^[1]

為空間中的每一點連續地選擇一個1維向量空間，便確定了線叢。在拓撲學的應用中，這個向量空間通常是實或復的，而由於實向量空間與復向量空間的拓撲性質不同，兩種選擇將表現出根本上不同的行為：剔去實數線上的原點，就得到可逆1階實方陣的集合。將正負實數分別收縮為一點，便可見它同倫等價於離散兩點空間；而剔去複平面上的原點，就得到可逆1階復矩陣的集合，與圓同倫等價。

因此從同倫論的角度看，實線叢的行為與具有兩點纖維（two-point fiber）的纖維叢（即雙覆蓋）基本相同。微分流形的有向雙覆蓋是特例，對應的線叢是切叢的行列式叢（下詳）。莫比烏斯帶對應圓的雙覆蓋（θ → 2θ映射），改變纖維也可將其視作具有兩點纖維、作為纖維的單位區間或實數線。 複線叢與圓叢密切相關。有些著名的複線叢，如球面到球面的霍普夫纖維化。

代數幾何中，可逆層（即秩為1的局部自由層）常稱作線叢。

線叢由滿足以下條件的除子產生：

(I) X是既約不可約概形，則每個線叢都來自一個除子

(II) X是射影概形，則同樣成立

射影空間上的重言線叢

主條目：重言叢

代數幾何中最重要的線叢之一是射影空間上的重言線叢。域k上向量空間V的射影化${\displaystyle {\boldsymbol {P}}(V)}$定義為對乘法群${\displaystyle k^{\times }}$作用的商${\displaystyle V\setminus \{0\}}$，因此${\displaystyle {\boldsymbol {P}}(V)}$的每一點都對應一份${\displaystyle k^{\times }}$，可以構成${\displaystyle {\boldsymbol {P}}(V)}$上的${\displaystyle k^{\times }}$-叢。${\displaystyle k^{\times }}$與k只差一個點，將該點與每條纖維鄰接（adjoin），就得到了${\displaystyle {\boldsymbol {P}}(V)}$上的線叢，稱作重言線叢（tautological line bundle），有時記作${\displaystyle {\mathcal {O}}(-1)}$，因為它對應於塞雷扭轉層${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$的對偶。

映射到射影空間

設X是空間，L是X上的線叢。L的全局截面是函數${\displaystyle s:\ X\to L}$，使得若${\displaystyle p:\ L\to X}$是自然射影，則${\displaystyle ps={\rm {id}}_{X}}$。在X中L為平凡的小鄰域U內，線叢的總空間是U與底域k的積，截面s限制到函數${\displaystyle U\to k}$。而s的值取決於平凡化的選擇，因此它們只取決於無處為0函數的乘法。 全局截面以如下方式確定到射影空間的映射：在L的某纖維中擇${\displaystyle r+1}$個不全為0的點，就能選擇出${\displaystyle {\boldsymbol {P}}^{r}}$上重言線叢的纖維，因此選擇L的${\displaystyle r+1}$個不同時為0的全局截面，就確定了X到射影空間${\displaystyle {\boldsymbol {P}}^{r}}$的映射。這個映射將L的纖維發送到重言叢的對偶的纖維。更具體地說，假設L的全局截面是${\displaystyle s_{0},\ \dots ,\ s_{r}}$，則在X的小鄰域U內，這些截面確定了U上的k值函數，具體取值取決於平凡化的選擇。不過，它們取決於同非零函數的同時乘法，因此其比是良定義的。也就是說，點x上的值${\displaystyle s_{0}(x),\ \dots ,\ s_{r}(x)}$不是良定義的，因為平凡化的改變會使它們各自乘一個非零常數λ；而只要截面${\displaystyle s_{0},\ \dots ,\ s_{r}}$不在x同時取0，就會使它們乘以同一個常數，於是齊次坐標>math>s_0(x):\ \dots\ :s_r(x)]</math>良定義。因此，若截面不同時為0，則它們確定的形式${\displaystyle [s_{0}:\ \dots \ :s_{r}]}$就給出X到${\displaystyle {\boldsymbol {P}}^{r}}$的映射，映射下重言叢的對偶的拉回是L。這樣，射影空間就獲得了一個泛性質。

確定到射影空間的映射，通用方法是映射到L所有截面的向量空間的射影化。拓撲情形中，每點都有不為0的截面，可用在小鄰域之外為0的衝擊函數（bump function）構造，這樣得到的映射是處處定義的。然而到達域通常太大，沒什麼用。代數和全純集情形則恰好相反：全局截面的空間通常是有限維的，但點上可能不存在任何非零全局截面（如此例中構造了一個萊夫謝茨鉛筆）。事實上，叢有可能完全沒有非零全局截面，如重言線叢。線叢足夠豐沛時，這構造就驗證了小平嵌入定理。

行列式叢

參見：奎倫度量 § 算子族的行列式叢

一般來說，若V是空間X上的向量叢、纖維維數恆為n，則V的n次纖維-纖維外冪是線叢，稱作行列式線叢（determinant line bundle）。這種構造尤其適用於光滑流形的餘切叢，得到的行列式叢是張量密度現象的根源，因為對有向流形，其有非零的全局截面，且張量冪的任意實指數都可定義，並通過張量積「扭曲」任意向量叢。

同樣的構造（取頂級外冪）適用於諾特域上的有限生成射影模M，由此得到的可逆模稱作M的行列式模。

示性類、萬有叢與分類空間

第一施蒂費爾–惠特尼類分類了光滑實線叢。特別地，實線叢的（等價類的）集合對應於第一上同調的係數為${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$的元素。這種對應關係實際上是阿貝爾群同構（群運算是線叢的張量積與上同調上的普通加法）。類似，第一陳類分類了空間上的光滑複線叢，線叢群同構於係數為整數的第二上同調類。然而，叢可以有等價的光滑結構（於是有相同的第一陳類），而具有不同的全純結構。利用流形上層的指數序列，可以很容易地證明陳類的陳述。

可以從同倫論角度更普遍地看待分類問題。實線叢和複線叢都有萬有叢（universal bundle），根據分類空間的一般理論，啟發式方法是尋找可收縮空間，其上各自的群${\displaystyle C_{2}}$、${\displaystyle S^{1}}$的群作用是自由作用。這些空間可作為萬有主叢，作用的商則可作為分類空間BG。這些情形下，可在實、復射影空間的無限維類似空間中明確地找到這些空間。 因此，分類空間${\displaystyle BC_{2}}$屬於${\displaystyle {\boldsymbol {RP}}^{\infty }}$的同倫類，${\displaystyle {\boldsymbol {RP}}^{\infty }}$是由齊次坐標的無限序列給出的實射影空間，攜帶着萬有實線叢；從同倫論角度看，這意味着CW復形X上的任何實線叢L都確定了X到${\displaystyle {\boldsymbol {RP}}^{\infty }}$的分類映射，使L同構於萬有叢的拉回。這一分類映射可用於從${\displaystyle {\boldsymbol {RP}}^{\infty }}$上的標準類定義X的係數屬於${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$的第一上同調中L的施蒂費爾–惠特尼類。

類似地，復射影空間${\displaystyle {\boldsymbol {CP}}^{\infty }}$攜帶有萬有複線叢。這時，分類映射會在${\displaystyle H^{2}(X)}$（積分上同調）中產生X的第一陳類。

還有一種與四元數線叢（實維度4）類似的理論，產生了實4維上同調中的龐特里亞金類中的一個。

這樣，示性類理論的基本情形就只取決於線叢了。據一般的分裂原則，這可以確定理論的其餘部分（即便不顯式）。

複流形上的全純線叢理論和代數幾何中的可逆層理論中都有線叢出現。

另見

• I-叢
• 豐沛線叢
• 線場

註釋

1. Hartshorne. Algebraic Geometry, Arcata 1974. 1975: 7.

參考文獻

• Michael Murray, Line Bundles, 2002 (PDF web link)
• Robin Hartshorne. Algebraic geometry. AMS Bookstore, 1975. ISBN 978-0-8218-1429-1