線性近似

在數學中，線性近似就是用線性函數對普通函數進行近似。這個線性函數稱為仿射函數。

在 (a, f(a)) 處的切線

例如，有一個實數變量的可導函數 f，根據 n=1 的泰勒公式

${\displaystyle f(x)=f(a)+f\ '(a)(x-a)+R_{2}}$

其中 ${\displaystyle R_{2}}$ 是餘數。捨去餘數就是線性近似：

${\displaystyle f(x)\approx f(a)+f\ '(a)(x-a)}$

當 x 無限接近於 a 的時候這個等式成立。右側的表示是 f 在點 (a, f(a)) 處的切線，因此這個過程也叫作切線近似。

我們也可以對以向量作為變量的向量函數作線性近似，這時在該點的導數用雅可比矩陣代替。例如，一個有實數變量的可導函數 ${\displaystyle f(x,y)}$，可以用函數 ${\displaystyle f(x,y)}$ 在接近 ${\displaystyle (a,b)}$ 的 ${\displaystyle (x,y)}$ 點處的值來近似

${\displaystyle f\left(x,y\right)\approx f\left(a,b\right)+{\frac {\partial f}{\partial x}}\left(a,b\right)\left(x-a\right)+{\frac {\partial f}{\partial y}}\left(a,b\right)\left(y-b\right).}$

方程右側是 ${\displaystyle z=f(x,y)}$ 在點 ${\displaystyle (a,b).}$ 處的平面切線。

在更具普遍意義的巴拿赫空間上，

${\displaystyle f(x)\approx f(a)+Df(a)(x-a)}$

其中 ${\displaystyle Df(a)}$ 是函數 ${\displaystyle f}$ 在 ${\displaystyle a}$ 處的 Fréchet 導數。

例子

可以通過下面的過程求得 ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{25}}}$ 的值。

1. 設函數 ${\displaystyle f(x)=x^{1/3}.\,}$ ，問題簡化為求 ${\displaystyle f(25)}$ 的值。
2. 可以得到

   ${\displaystyle f\ '(x)=1/3x^{-2/3}.}$

3. 根據線性近似

   ${\displaystyle f(25)\approx f(27)+f\ '(27)(25-27)=3-2/27.}$

4. 結果 2.926 非常接近於實際值 2.924