線性插值

線性插值是數學、計算機圖形學等領域廣泛使用的一種簡單插值方法。

如何進行線性插值

假設我們已知坐標 (x₀, y₀) 與 (x₁, y₁)，要得到 [x₀, x₁] 區間內某一位置 x 在直線上的值。根據圖中所示，我們得到

${\displaystyle {\frac {y-y_{0}}{x-x_{0}}}={\frac {y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}}.\,\!}$

由於 x 值已知，所以可以從公式得到 y 的值

${\displaystyle y=y_{0}+(x-x_{0}){\frac {y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}}=y_{0}+{\frac {(x-x_{0})y_{1}-(x-x_{0})y_{0}}{x_{1}-x_{0}}}}$

已知 y 求 x 的過程與以上過程相同，只是 x 與 y 要進行交換。

線性插值近似法

線性插值經常用於已知函數 f 在兩點的值要近似獲得其它點數值的方法，這種近似方法的誤差定義為

${\displaystyle R_{T}=f(x)-p(x)\,\!}$

其中 p 表示上面定義的線性插值多項式

${\displaystyle p(x)=f(x_{0})+{\frac {f(x_{1})-f(x_{0})}{x_{1}-x_{0}}}(x-x_{0}).\,\!}$

根據羅爾定理，我們可以證明：如果 f 有二階連續導數，那麼誤差範圍是

${\displaystyle |R_{T}|\leq {\frac {(x_{1}-x_{0})^{2}}{8}}\max _{x_{0}\leq x\leq x_{1}}|f''(x)|.\,\!}$

正如所看到的，函數上兩點之間的近似隨着所近似的函數的二階導數的增大而逐漸變差。從直觀上來看也是這樣：函數的曲率越大，簡單線性插值近似的誤差也越大。

應用

線性插值經常用於補充表格中的間隔部分。假設一個表格列出了一個國家 1970年、1980年、1990年以及 2000年的人口，那麼如果需要估計 1994年的人口的話，線性插值就是一種簡便的方法。

兩值之間的線性插值基本運算在計算機圖形學中的應用非常普遍，以至於在計算機圖形學領域的行話中人們將它稱為 lerp。所有當今計算機圖形處理器的硬件中都集成了線性插值運算，並且經常用來組成更為複雜的運算：例如，可以通過三步線性插值完成一次雙線性插值運算。由於這種運算成本較低，所以對於沒有足夠數量條目的光滑函數來說，它是實現精確快速查找表的一種非常好的方法。

歷史

線性插值從遠古以來就一直用於補充表格中的間隔，它經常用於天文學數據。人們相信公元前最後三個世紀的塞琉西王朝、公元前2世紀的希臘天文學家與數學家喜帕恰斯就曾經使用了這種方法。在托勒密於公元2世紀所作的《天文學大成》（Almagest）中亦可以見到對於線性插值的描述。

其它

在一些要求較高的場合，線性插值經常無法滿足要求。在這種場合，可以使用多項式插值或者樣條插值來代替。

線性插值可以擴展到有兩個變量的函數的雙線性插值。雙線性插值經常作為一種粗略的抗混疊濾波器使用，三線性插值用於三個變量的函數的插值。線性插值的其它擴展形勢可以用於三角形與四面體等其它類型的網格運算。

參考文獻

• E. Meijering (2002). 插值年表：從古代天文學到現代信號與圖像處理 （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）. Proceedings of the IEEE 9 (3), 319–342.

參見

• 雙線性插值
• De Casteljau算法

外部連結

• cut-the-knot 上的 直線方程 （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）
• cut-the-knot 上的 拉格朗日多項式與插值 （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）