粒子群最佳化

粒子群最佳化（Particle Swarm Optimization, PSO），又稱粒子群演算法、微粒群演算法，是由 J. Kennedy 和 R. C. Eberhart 等^[1]於1995年開發的一種演化計算技術，來源於對一個簡化社會模型的模擬。其中「群（swarm）」來源於微粒群符合 M. M. Millonas 在開發應用於人工生命（artificial life）的模型時所提出的群體智能的5個基本原則。「粒子（particle）」是一個折衷的選擇，因為既需要將群體中的成員描述為沒有質素、沒有體積的，同時也需要描述它的速度和加速狀態。

PSO 演算法最初是為了圖形化地模擬鳥群優美而不可預測的運動。而通過對動物社會行為的觀察，發現在群體中對資訊的社會共用提供一個演化的優勢，並以此作為開發演算法的基礎^[1]。通過加入近鄰的速度匹配、並考慮了多維搜尋和根據距離的加速，形成了 PSO 的最初版本。之後引入了慣性權重w來更好的控制開發（exploitation）和探索（exploration），形成了標準版本。為了提高粒群演算法的效能和實用性，中山大學、（英國）格拉斯哥大學等又開發了自適應（Adaptive PSO）版本^[2]和離散（discrete）版本^[3]。

PSO 演算法屬於一種萬能啟發式演算法，能夠在沒有得知太多問題資訊的情況下，有效的搜尋具有龐大解空間的問題並找到候選解，但同時不保證其找到的最佳解為真實的最佳解。

演算法原理

PSO 演算法是基於群體的，根據對環境的適應度將群體中的個體移動到好的區域。然而它不對個體使用演化算子，而是將每個個體看作是 D 維搜尋空間中的一個沒有體積的微粒（點），在搜尋空間中以一定的速度飛行，這個速度根據它本身的飛行經驗和同伴的飛行經驗來動態調整。第 i 個微粒表示為 X_i =(x_i1, x_i2, …, x_iD) ，它經歷過的最好位置（有最好的適應值）記為 P_i = (p_i1, p_i2, …, p_iD)，也稱為 pbest。在群體所有微粒經歷過的最好位置的索引號用符號 g 表示，即 P_g，也稱為 gbest 。微粒 i 的速度用 V_i = (v_i1, v_i2, …, v_iD) 表示。對每一代，它的第 d+1 維（1 ≤ d+1 ≤ D）根據如下方程進行變化：

       vid+1 = w∙vid+c1∙rand()∙(pid-xid)+c2∙Rand()∙(pgd-xid)        (1a)
       xid+1 = xid+vid+1				              (1b)

其中w為慣性權重（inertia weight），c₁和c₂為加速常數（acceleration constants），rand() 和 Rand() 為兩個在[0,1]範圍里變化的隨機值。

此外，微粒的速度 Vi 被一個最大速度 V_max 所限制。如果當前對微粒的加速導致它的在某維的速度 v_id 超過該維的最大速度 v_max,d，則該維的速度被限制為該維最大速度 v_max,d。

對公式（1a），第一部分為微粒先前行為的慣性，第二部分為「認知（cognition）」部分，表示微粒本身的思考；第三部分為「社會（social）」部分，表示微粒間的資訊共用與相互合作。

「認知」部分可以由 Thorndike 的效應法則（law of effect）所解釋，即一個得到加強的隨機行為在將來更有可能出現。這裏的行為即「認知」，並假設獲得正確的知識是得到加強的，這樣的一個模型假定微粒被激勵着去減小誤差。

「社會」部分可以由 Bandura 的替代強化（vicarious reinforcement）所解釋。根據該理論的預期，當觀察者觀察到一個模型在加強某一行為時，將增加它實行該行為的幾率。即微粒本身的認知將被其它微粒所模仿。

PSO 演算法使用如下心理學假設：在尋求一致的認知過程中，個體往往記住自身的信念，並同時考慮同事們的信念。當其察覺同事的信念較好的時候，將進行適應性地調整。

標準 PSO 的演算法流程如下：

1. 初始化一群微粒（群體規模為 m ），包括隨機的位置和速度；
2. 評價每個微粒的適應度；
3. 對每個微粒，將它的適應值和它經歷過的最好位置 pbest 的作比較，如果較好，則將其作為當前的最好位置pbest；
4. 對每個微粒，將它的適應值和全域所經歷最好位置 gbest 的作比較，如果較好，則重新設置gbest的索引號；
5. 根據方程（1）變化微粒的速度和位置；
6. 如未達到結束條件（通常為足夠好的適應值或達到一個預設最大代數 G_max ），回到（2）。

演算法參數

PSO 參數包括：群體規模 m ，慣性權重 w ，加速常數 c₁ 和 c₂ ，最大速度 V_max，最大代數 G_max。

V_max 決定在當前位置與最好位置之間的區域的解像度（或精度）。如果 V_max 太高，微粒可能會飛過好解，如果 V_max 太小，微粒不能進行足夠的探索，導致陷入局部優值。該限制有三個目的：防止計算溢位；實現人工學習和態度轉變；決定問題空間搜尋的粒度。

慣性權重w使微粒保持運動的慣性，使其有擴充搜尋空間的趨勢，有能力探索新的區域。

加速常數 c1 和 c2 代表將每個微粒推向 pbest 和 gbest 位置的統計加速項的權重。低的值允許微粒在被拉回來之前可以在目標區域外徘徊，而高的值導致微粒突然的衝向或者越過目標區域。

如果沒有後兩部分，即 c₁ = c₂ = 0，微粒將一直以當前的速度飛行，直到到達邊界。由於它只能搜尋有限的區域，將很難找到好的解。

如果沒有第一部分，即 w = 0，則速度只取決於微粒當前的位置和它們歷史最好位置 pbest 和 gbest ，速度本身沒有記憶性。假設一個微粒位於全域最好位置，它將保持靜止。而其它微粒則飛向它本身最好位置 pbest 和全域最好位置 gbest 的加權中心。在這種條件下，微粒群將統計的收縮到當前的全域最好位置，更像一個局部演算法。

在加上第一部分後，微粒有擴充搜尋空間的趨勢，即第一部分有全域搜尋的能力。這也使得w的作用為針對不同的搜尋問題，調整演算法全域和局部搜尋能力的平衡。

如果沒有第二部分，即 c₁ = 0，則微粒沒有認知能力，也就是「只有社會（social-only）」的模型。在微粒的相互作用下，有能力到達新的搜尋空間。它的收斂速度比標準版本更快，但是對複雜問題，比標準版本更容易陷入局部優值點。

如果沒有第三部分，即 c₂ = 0，則微粒之間沒有社會資訊共用，也就是「只有認知（cognition-only）」的模型。因為個體間沒有互動，一個規模為m的群體等價於m個單個微粒的執行。因而得到解的幾率非常小。

收斂性

收斂性的數學證明幫助了 PSO 的發展和應用^[4]，但此類分析具有很大的局限性^[5]。為 PSO 加入正交學習後，演算法的全域收斂、收斂精度及穩健可靠性都得到了提高^[6]。

外部連結

• DMOZ Particle Swarm People （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）
• PSO原始碼連結 （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）
• Parameter Estimation of a Pressure Swing Adsorption Model for Air Separation Using Multi-objective Optimisation and Support Vector Regression ModelYang Liu 2013
• Automatic calibration of a rapid flood spreading model using multiobjective optimisations （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）-Yang Liu 2013
• https://web.archive.org/web/20160507233728/http://userweb.eng.gla.ac.uk/yun.li/ga_demo/（格拉斯哥大學的互動式群體演化線上學習課件 EA_demo，可以幫助讀者更好地理解進化及粒群演算法，允許用戶直接在網頁上一代一代地手動執行，以看進化演算法是怎樣一步一步操作的，亦可在背景中批次執行，以觀察演算法的收斂和個體是否跳出局部最佳）

參考文獻

1. Kennedy, J.; Eberhart, R. Particle swarm optimization. Neural Networks, 1995. Proceedings., IEEE International Conference on (IEEE). 1995, 4: 1942–1948. ISBN 0-7803-2768-3. doi:10.1109/ICNN.1995.488968.
2. Zhan, Z-H.; Zhang, J.; Li, Y; Chung, H.S-H. Adaptive Particle Swarm Optimization (PDF). IEEE Transactions on Systems, Man, and Cybernetics. 2009, 39 (6): 1362–1381 [2014-02-02]. doi:10.1109/TSMCB.2009.2015956. （原始內容存檔 (PDF)於2017-05-17）.
3. Shen, Meie, Zhan, Zhi-Hui, Chen, Wei-Neng, Gong, Yue-Jiao, Zhang, Jun, and Li, Yun. Bi-velocity discrete particle swarm optimization and its application to multicast routing problem in communication networks (PDF). IEEE Transactions on Industrial Electronics. 2014, (March): 1362–1381. doi:10.1109/TIE.2014.2314075. （原始內容 (PDF)存檔於2014-10-08）.
4. Clerc, M.; Kennedy, J. The particle swarm - explosion, stability, and convergence in a multidimensional complex space. IEEE Transactions on Evolutionary Computation. 2002, 6 (1): 58–73. doi:10.1109/4235.985692.
5. Pedersen, M.E.H.; Chipperfield, A.J. Simplifying particle swarm optimization (PDF). Applied Soft Computing. 2010, 10 (2): 618–628 [2014-02-02]. doi:10.1016/j.asoc.2009.08.029. （原始內容 (PDF)存檔於2014-01-24）.
6. Zhan, Z-H.; Zhang, J.; Li, Y; Shi, Y-H. Orthogonal Learning Particle Swarm Optimization (PDF). IEEE Transactions on Evolutionary Computation. 2011, 15 (6): 832–847 [2014-02-02]. doi:10.1109/TEVC.2010.2052054. （原始內容存檔 (PDF)於2020-08-06）.