等勢

在數學領域中，兩個集合是等勢的（英語：equinumerous）意為它們之間存在一個雙射。這種性質經常叫做等勢性(equinumerosity)。英文中也會用術語 equipotent 或 equipollent 來表示等勢。

定義

定義 — ${\displaystyle A}$ 和 ${\displaystyle B}$ 是二集合，若 ${\displaystyle f}$ 滿足

• ${\displaystyle (\forall a\in A)(\exists !b)\{(b\in B)\wedge [(a,\,b)\in f]\}}$ （${\displaystyle f}$ 是${\displaystyle A}$ 和 ${\displaystyle B}$ 間的函數）
• ${\displaystyle (\forall b\in B)(\exists a\in A)[(a,\,b)\in f]}$ （每個 ${\displaystyle b\in B}$ 都可以用 ${\displaystyle f}$ 的規則對到某 ${\displaystyle a\in A}$）
• ${\displaystyle (\forall a_{1}\in A)(\forall a_{2}\in A)(\forall b\in B)\{[(a_{1},\,b),\,(a_{2},\,b)\in f]\Rightarrow (a_{1}=a_{2})\}}$ （${\displaystyle a_{1},\,a_{2}\in A}$ 都對到 ${\displaystyle b\in B}$ 則兩者相等 ）

此時用以下符號簡記：

${\displaystyle A\,{\overset {f}{\cong }}\,B}$

更進一步的，可以定義：

${\displaystyle A\cong B:=(\exists f)\left[A\,{\overset {f}{\cong }}\,B\right]}$

並可簡稱為${\displaystyle A}$ 和 ${\displaystyle B}$ 是等勢的。

${\displaystyle A\,{\overset {f}{\cong }}\,B}$ 直觀上來說，就是任意 ${\displaystyle b\in B}$ 都可以透過函數 ${\displaystyle f}$ 的規則，被唯一的一個 ${\displaystyle a\in A}$ 對應。而所謂的等勢，就是${\displaystyle A}$ 和 ${\displaystyle B}$ 間存在這樣的一對一且不遺漏的對應關係。

範例

設${\displaystyle E=\left\{2n|n\in \mathbb {N} \right\}}$是全體偶數的集合，那麼，它與自然數集${\displaystyle \mathbb {N} }$是等勢的； 有理數${\displaystyle \mathbb {Q} }$與自然數${\displaystyle \mathbb {N} }$是等勢的（所有有理數與自然數是「一樣多」的）； 然而，無理數${\displaystyle \mathbb {R} -\mathbb {Q} }$與自然數${\displaystyle \mathbb {N} }$或有理數${\displaystyle \mathbb {Q} }$都不等勢（無理數比有理數「個數多」）。

性質

• 兩個有限集是等勢的，若且唯若它們的元素個數相等。
• 等勢可構成一個等價關係。

範疇論的等勢

在集合範疇中，帶有函數作為態射的所有集合的範疇，在兩個集合之間的同構正好是一個雙射，而兩個集合正好是等勢的，如果它們在這個範疇中是同構的。

參見

• 集合範疇
• 基數 (數學)
• 雙射