積分方程

積分方程是含有對未知函數的積分運算的方程，與微分方程相對。許多數學物理問題需通過積分方程或微分方程求解。

積分方程最基本的形式為第一類弗里德霍姆方程：

${\displaystyle f(x)=\int _{a}^{b}K(x,t)\,\phi (t)\,dt,}$

其中，${\displaystyle f}$和${\displaystyle K}$已知，${\displaystyle K}$又稱核函數，${\displaystyle \phi }$為所求未知函數。積分上下限${\displaystyle a}$，${\displaystyle b}$為常數。

如未知函數同時出現在積分符號內外，則該方程稱作第二類弗里德霍姆方程：

${\displaystyle \phi (x)=f(x)+\lambda \int _{a}^{b}K(x,t)\,\phi (t)\,dt,}$

${\displaystyle \lambda }$作為未知因子，起到與線性代數中特徵值類似的作用。

如果積分上限或下限為變量，則該方程稱為伏爾泰拉方程。第一類和第二類伏爾泰拉方程有下述形式：

${\displaystyle f(x)=\int _{a}^{x}K(x,t)\,\phi (t)\,dt,}$

${\displaystyle \phi (x)=f(x)+\lambda \int _{a}^{x}K(x,t)\,\phi (t)\,dt,}$

如果${\displaystyle f}$始終為${\displaystyle 0}$，以上所有方程稱為齊次，否則，稱為非齊次。

參見

• 微分方程

參考文獻

• George Arfken and Hans Weber. Mathematical Methods for Physicists. Harcourt/Academic Press, 2000.
• Andrei D. Polyanin and Alexander V. Manzhirov Handbook of Integral Equations. CRC Press, Boca Raton, 1998. ISBN 0-8493-2876-4
• Integral Equations: Exact Solutions （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館） at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
• Integral Equations: Index （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館） at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
• Integral equations （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館） at exampleproblems.com