穩定分佈

在機率論中，穩定分佈（Stable distribution，又稱為雷維偏阿爾法-穩定分佈（Levy skew alpha-stable distribution））是一種連續機率分佈，它是由保羅·皮埃爾·萊維發展起來的。在穩定分佈中，獨立同分佈的隨機變量之和及它們本身具有相同的分佈。

穩定分佈

機率密度函數
累積分佈函數
參數	${\displaystyle \alpha \in (0,2]\,}$ 指數 ${\displaystyle \beta \in [-1,1]\,}$ 偏度 ${\displaystyle c\in [0,\infty )\,}$ 尺度參數 ${\displaystyle \mu \in (-\infty ,\infty )\,}$ 位置參數
值域	${\displaystyle x\in (-\infty ;+\infty )\!}$
機率密度函數	通常沒有解析式，見下文
累積分佈函數	通常沒有解析式，見下文
期望值	當α≤1時未定義，否則等於μ
中位數	見下文 當β=0時，等於μ
眾數	當β=0時，等於μ
變異數	無窮（除了當 α=2，當它是2c2）
偏度	未定義
峰度	未定義
熵	見下文
動差母函數	未定義
特徵函數	${\displaystyle \exp \left[~it\mu -|ct|^{\alpha }\,(1-i\beta \,{\mbox{sgn}}(t)\Phi )~\right]}$ ${\displaystyle \Phi =\tan(\pi \alpha /2)\,}$ for ${\displaystyle \alpha \neq 1\,}$ ${\displaystyle \Phi =-(2/\pi )\log |t|\,}$ for ${\displaystyle \alpha =1\,}$

更明確的說，如果${\displaystyle X_{1},X_{2}}$為分佈${\displaystyle X}$之獨立隨機變量，令${\displaystyle Y=aX_{1}+bX_{2}+c}$為${\displaystyle X_{1},X_{2}}$的線性組合，若${\displaystyle Y}$之分佈滿足${\displaystyle dX+e}$，則稱${\displaystyle X}$為穩定分佈。如果對於所有的${\displaystyle a}$、${\displaystyle b}$和${\displaystyle c}$，${\displaystyle e=0}$，則稱${\displaystyle X}$為嚴格穩定。

穩定分佈被用作金融數據的分析。比如本華·曼德博發現棉花價格的變化服從穩定分佈（${\displaystyle \alpha =1.7}$）。

分佈

一個穩定分佈可以用尺度${\displaystyle c}$、特性指數${\displaystyle \alpha }$、移位${\displaystyle \mu }$和偏度參數${\displaystyle \beta }$來表示。

偏度參數必須位於區間[−1, 1]內。當它為零時，分佈呈對稱，可以稱為雷維阿爾法對稱穩定分佈。指數${\displaystyle \alpha }$必須位於區間(0, 2]內。

穩定分佈可以用它的特徵函數${\displaystyle \varphi (t)}$的連續傅立葉轉換來定義：

${\displaystyle f(x;\alpha ,\beta ,c,\mu )={1 \over 2\pi }\int _{-\infty }^{+\infty }\varphi (t)e^{-itx}\,dt}$

其中${\displaystyle \varphi (t)}$可以表示為：

${\displaystyle \varphi (t)=\exp \left[~it\mu \!-\!|ct|^{\alpha }\,(1\!-\!i\beta \,{\textrm {sgn}}(t)\Phi )~\right]}$

其中sgn(t) 是t 的符號，${\displaystyle \Phi }$ 表示為：

${\displaystyle \Phi =\tan(\pi \alpha /2)\,}$

當${\displaystyle \alpha =1}$時

${\displaystyle \Phi =-(2/\pi )\log |t|.\,}$

${\displaystyle \mu }$是移位參數，${\displaystyle \beta }$衡量對稱性。當${\displaystyle \beta }$=0時，表示分佈關於${\displaystyle \mu }$對稱。${\displaystyle c}$是尺度因素，它衡量分佈的寬度。${\displaystyle \alpha }$是分佈指數，表示當${\displaystyle \alpha <2}$時分佈的漸進行為。

當${\displaystyle \alpha <2}$ 時的漸進行為可以表示為：

${\displaystyle f(x)\sim {\frac {\alpha c^{\alpha }(1+\beta )\sin(\pi \alpha /2)\Gamma (\alpha )/\pi }{|x|^{1+\alpha }}}}$

其中Γ是伽馬函數（除了當α<1和β=1或-1時，尾部向着左邊或者右邊消失）。這種「重尾」行為造成穩定分佈的方差在${\displaystyle \alpha <2}$ 時無限大。

特例

${\displaystyle p(x)}$的形式沒有統一的方案，但是卻存在三個特例：

• 對於${\displaystyle \alpha =2}$，分佈縮減為正態分佈（方差為${\displaystyle \sigma ^{2}=2c^{2}}$，均值為${\displaystyle \mu }$），穩定分佈是高狹峰的（leptokurtic）和重尾分佈。
• 對於${\displaystyle \alpha =1}$和${\displaystyle \beta =0}$，分佈縮減為柯西分佈（尺度參數為${\displaystyle c}$，移位參數為${\displaystyle \mu }$）
• 對於${\displaystyle \alpha =1/2}$和${\displaystyle \beta =1}$，分佈縮減為雷維分佈（尺度參數為${\displaystyle c}$，移位參數為${\displaystyle \mu }$）

以上三個分佈其實是相互關聯的。一個標準的柯西隨機變量可以被看成是高斯隨機變量（所有均值為零）和一個標準雷維分佈的方差的混合。

穩定性質

穩定分佈擁有穩定性質，如果把${\displaystyle N}$個阿爾法穩定變量${\displaystyle X_{i}}$從以下分佈中提出：

${\displaystyle X_{i}\sim f(x;\alpha ,\beta ,c,\mu )\,}$

那麼

${\displaystyle Y=\sum _{i=1}^{N}k_{i}(X_{i}-\mu )\,}$

也像阿爾法穩定變量那樣分佈

${\displaystyle Y\sim {\frac {1}{s}}\,\,f(y/s;\alpha ,\beta ,c,0).\,}$

其中：

${\displaystyle s=\left(\sum _{i=1}^{N}|k_{i}|^{\alpha }\right)^{1/\alpha }.\,}$

這用特性函數的性質可以很容易證明。

廣義中心極限定理

另外一個關於穩定分佈的重要的性質是它們在中心極限定理中扮演的角色。中心極限定理闡明了隨着有限方差的隨機變量數量增長，它們的和的分佈趨向正態分佈。一個推廣的理論指出隨着服從以${\displaystyle 1/|x|^{\alpha +1}}$遞減的冪律尾分佈（因此具有無限方差）的隨機變量數量增長，它們的和的分佈趨向穩定分佈${\displaystyle f(x;\alpha ,0,c,0)}$ 。

級數表示法

穩定分佈可以用更簡單的積分來表示：

${\displaystyle f(x;\alpha ,\beta ,c,\mu )={\frac {1}{\pi }}\Re \left[\int _{0}^{\infty }e^{it(x-\mu )}e^{-(ct)^{\alpha }(1-i\beta \Phi )}\,dt\right]}$

把第二部分用泰勒級數表示，我們有：

${\displaystyle f(x;\alpha ,\beta ,c,\mu )={\frac {1}{\pi }}\Re \left[\int _{0}^{\infty }e^{it(x-\mu )}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-qt^{\alpha })^{n}}{n!}}\right]}$

其中${\displaystyle q=c^{\alpha }(1-i\beta \Phi )}$

把積分和求和的順序對調，然後進行積分，式子變成：

${\displaystyle f(x;\alpha ,\beta ,c,\mu )={\frac {1}{\pi }}\Re \left[\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-q)^{n}}{n!}}\left({\frac {1}{i(x-\mu )}}\right)^{\alpha n+1}\Gamma (\alpha n+1)\right]}$

（在${\displaystyle x\neq \mu }$的情況下成立）

參考

• GNU Scientific Library - Reference Manual Edition 1.12, for GSL Version 1.12, 16 December 2008
  • The Levy alpha-Stable Distributions. GNU Scientific Library - Reference Manual. [2006-11-24]. （原始內容存檔於2006-11-23）.
  • The Levy skew alpha-Stable Distribution. GNU Scientific Library - Reference Manual. [2006-11-24]. （原始內容存檔於2006-11-23）.
• B. V. Gnedenko and A. N. Kolmogorov. Limit Distributions for Sums of Independent Random Variables. Addison-Wesley. 1954.
• Johannes Voit. The Statistical Mechanics of Financial Markets (Texts and Monographs in Physics). Springer-Verlag. 2003. ISBN 978-3-540-00978-8.
• Some improvements in numerical evaluation of symmetric stable density and its derivatives (PDF). CIRGE Discussion paper. （原始內容 (PDF)存檔於2006-10-01）.
• John P. Nolan. Information on stable distributions. [2006-11-24]. （原始內容存檔於2006-10-30）.
  • John P. Nolan. Stable Distributions Models for Heavy Tailed Data (PDF). January 11, 2005 [2006-11-24]. （原始內容存檔 (PDF)於2011-07-17）.
  • John P. Nolan. Bibliography on stable distributions, processes and related topics (PDF). November 29, 2005 [2006-11-24]. （原始內容存檔 (PDF)於2006-09-01）.
• I. Ibragimov, Yu. Linnik. Independent and Stationary Sequences of Random Variables. Wolters-Noordhoff Publishing Groningen, The Netherlands. 1971.
• Peach, G. Theory of the pressure broadening and shift of spectral lines. Advances in Physics. 1981, 30 (3): 367–474 [2006-11-24]. （原始內容存檔於2013-01-14）.
• V.M. Zolotarev. One-dimensional Stable Distributions. American Mathematical Society. 1986.